Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sean $a\geq 1$ y $b\geq 1$ números naturales cuyo máximo común divisor y mínimo común múltiplo designamos por $D$ y $M$, respectivamente. Demostrar que \[D^2+M^2\geq a^2+b^2.\]

Sean $ABC$ un triángulo acutángulo y $\Gamma$ su circunferencia circunscrita. Sea $D$ un punto en el segmento $BC$, distinto de $B$ y de $C$, y sea $M$ el punto medio de $AD$. La recta perpendicular a $AB$ que pasa por $D$ corta a $AB$ en $E$ y a $\Gamma$ en $F$, con el punto $D$ entre $E$ y $F$. Las rectas $FC$ y $EM$ se cortan en el punto $X$. Si $\angle DAE=\angle AFE$, demostrar que la recta $AX$ es tangente a $\Gamma$.

Sean $n\gt 2$ un entero positivo par y $a_1\lt a_2 \lt\ldots\lt a_n$ números reales tales que $a_{k+1}-a_k\leq 1$ para todo $k$ con $1\leq k\leq n-1$. Sea $A$ el conjunto de pares $(i,j)$ con $1\leq i\lt j \leq n$ y $j-i$ par, y sea $B$ el conjunto de pares $(i,j)$ con $1\leq i\lt j\leq n$ y $j-i$ impar. Demostrar que \[\prod_{(i,j)\in A}(a_j-a_i)=\prod_{(i,j)\in B}(a_j-a_i).\]

Dado un entero positivo $n$, se escriben todos sus divisores enteros positivos en una pizarra. Ana y Beto juegan el siguiente juego:

Por turnos, cada uno va a pintar uno de esos divisores de rojo o azul. Pueden elegir el color que deseen en cada turno, pero solo pueden pintar números que no hayan sido pintados con anterioridad. El juego termina cuando todos los números han sido pintados. Si el producto de los números pintados de rojo es un cuadrado perfecto, o si no hay ningún número pintado de rojo, gana Ana; de lo contrario, gana Beto. Si Ana tiene el primer turno, determinar para cada $n$ quién tiene estrategia ganadora.

Sean $ABC$ un triángulo acutángulo con $AC\gt AB$ y $O$ su circuncentro. Sea $D$ un punto en el segmento $BC$ tal que $O$ está en el interior del triángulo $ADC$ y $\angle DAO+\angle ADB = \angle ADC$. Llamamos $P$ y $Q$ a los circuncentros de los triángulos $ABD$ y $ACD$, respectivamente, y $M$ al punto de intersección de las rectas $BP$ y $CQ$. Demostrar que las rectas $AM$, $PQ$ y $BC$ son concurrentes.