Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Es fácil ver que para \(n=12\) se tiene que \(2^{11}+2^8+2^{12}=(2^4+2^6)^2\) y se puede comprobar (caso por caso) que para \(n\leq 8\) el número \(2^{11}+2^{8}+2^n\) no es un cuadrado perfecto. Vamos a ver que para \(n\geq9\), el único valor para el que es cuadrado perfecto es \(n=12\). En efecto, si escribimos \(n=m+8\) para cierto \(m\in\mathbb{N}\), tenemos que \(2^{11}+2^{8}+2^n=2^8(2^m+9)\) luego será suficiente ver cuándo \(2^m+9\) es un cuadrado perfecto, es decir, encontrar las soluciones naturales de la ecuación \(2^m+9=a^2\). Observemos que podemos transformar esta ecuación y escribirla como \(2^m=a^2-9=(a-3)(a+3)\) lo que nos dice que \(a-3\) y \(a+3\) tienen que ser potencias de \(2\). Como las únicas potencias de \(2\) que se diferencian en seis unidades son \(2\) y \(8\), tiene que cumplirse que \(a-3=2\) y \(a+3=8\) luego tenemos que \(a=5, m=4\) es la única solución de la ecuación y, por tanto, \(n=m+4=12\) es el único número natural para el que la cantidad el enunciado es un cuadrado perfecto.

Solución. Vamos a hacer una acotación a lo bruto que nos va a ser de mucha utilidad: $N\lt 10000^{4444}=10^{17776}$. Esto nos dice que $N$ tiene como mucho $17776$ cifras. Como mucho son todos nueves, lo que nos lleva a que $A\leq9\cdot 17776=159984$. El número menor o igual que $159984$ cuyas cifras suman más es $99999$, de donde deducimos que $B\leq9+9+9+9+9=45$. Ahora bien, el número menor o igual que $45$ cuyas cifras suman más es $39$, de donde $C\leq 3+9=12$. Por otro lado, tenemos que $N\equiv A\equiv B\equiv C (\mbox{mod }9)$ ya que el resto módulo 9 se conserva al sumar las cifras por lo que vamos a calcular el resto de $N$ módulo $9$. Observemos que $4444\equiv 7 (\mbox{mod } 9)$ luego $N\equiv 7^{4444} (\mbox{mod } 9)$ y también que $7^3=343\equiv 1 (\mbox{mod } 9)$ luego $N\equiv 7\cdot(7^3)^{1481}\equiv 7 (\mbox{mod } 9)$. En consecuencia, tenemos que $C\equiv 7 (\mbox{mod } 9)$ y, como $C\leq 12$, tiene que ser $C=7$.

Solución. El problema es equivalente a encontrar los números naturales tales que \((n-1)!\) no es divisible por \(n\). Si \(n\) es primo, entonces \((n-1)!\) no es divisible por \(n\) ya que todos los factores primos de \((n-1)!\) son menores que \(n\). Por el contrario, si \(n\) no es primo, podremos expresarlo como \(n=ab\) para \(a,b\in\mathbb{N}\) tales que \(1\lt a,b\leq n-1\) y distinguimos dos casos. Si \(a\neq b\), entonces \(a\) y \(b\) son dos factores de \((n-1)!\) luego \(n=ab\) divide a \((n-1)!\). Si \(a=b\), como \(a\geq 2\), tenemos que \(2a\leq a^2=n\): si \(2a\lt n\), entonces \((n-1)!=1\cdot2\cdots a\cdots2a\cdots(n-1)\) es divisible por \(a^2=n\) y, si \(2a=n=a^2\), entonces \(a=2\) y \(n=4\), que no divide a \(3!=6\). Deducimos que los números para los que \(n!\) no es divisible por \(n^2\) son \(4\) y todos los números primos.

Solución. Llamemos \(E\) al producto que aparece en la desigualdad. Usando que \(\frac{k-1}{k}\lt\frac{k}{k+1}\lt\frac{k+1}{k+2}\) para cualquier número natural \(k\), se tiene que \[\frac{k-1}{k}\frac{k}{k+1}\lt\left(\frac{k}{k+1}\right)^2\lt\frac{k}{k+1}\frac{k+1}{k+2}\] Usando esto para acotar \(E^2\), tenemos por un lado que \[E^2\lt\frac{1}{2}\frac{2}{3}\frac{3}{4}\frac{4}{5}\cdots\frac{2n-1}{2n}\frac{2n}{2n+1}=\frac{1}{2n+1}\] y, por otro lado, \[E^2\gt\frac{1}{2}\frac{1}{2}\frac{2}{3}\frac{3}{4}\cdots\frac{2n-2}{2n-1}\frac{2n-1}{2n}=\frac{1}{4n}\] De estas dos desigualdades se deducen las del enunciado.

Solución. Usando la desigualdad entre la media aritmética y la media cuadrática, tenemos que \[\left(p+\frac{1}{p}\right)^2+\left(q+\frac{1}{q}\right)^2\geq\frac{1}{2}\left(p+\frac{1}{p}+q+\frac{1}{q}\right)^2.\] Ahora bien, en el miembro de la derecha, se tiene que $p+q=1$ y, por la desigualdad entre la media aritmética y la media armónica, que $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}\geq\frac{4}{p+q}=4$. Sustituyendo esta información en la desigualdad arriba obtenida, se sigue la del enunciado. Para que se alcance la igualdad, ha de cumplirse que $p=q=\frac{1}{2}$ (por la igualdad en la desigualdad entre la media aritmética y la media armónica) y se comprueba que, efectivamente, para estos valores se alcanza.