Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Llamemos $v_1,v_2,v_3,v_4,v_5,v_6$ al valor de cada uno de los seis vértices (al comienzo tenemos que $v_1=v_3=1$, $v_2=v_4=v_5=v_6=0$ y observemos que la cantidad $v_1-v_2+v_3-v_4+v_5-v_6$ no cambia cuando a dos números consecutivos le sumamos o restamos uno. Por tanto, hagamos las operaciones que hagamos, dicha cantidad va a permanecer invariante. Como al principio su valor es 2 y el valor en el caso de que en todos los vértices haya un cero es 0, es imposible alcanzar esta situación.

Solución. Observemos que el tablero de ajedrez tiene 32 casillas blancas y 32 casillas negras y que las esquinas opuestas tienen el mismo color. Entonces, al quitar las casillas de dos esquinas opuestas nos quedan 32 casillas de un color y 30 de otro. Como todas las fichas de tamaño $2\times1$ ocupan exactamente una casilla blancan y otra negra, no es posible rellenar este espacio.

Solución. A cada persona le asignamos un número: el número de personas a las que le ha dado la mano. Este número ha de estar comprendido entre $0$ y $2008$ (lo que hace un total de $2009$ posibilidades para cada persona). Sin embargo, no puede ocurrir que una persona le haya dado la mano a todo el mundo y otra no se la haya dado a nadie, es decir, no puede haber una persona a la que se le ha asignado el $0$ y a otra el $2008$. Como hay $2009$ personas y $2008$ números que se le pueden asignar a cada una, tiene que haber dos que compartan el mismo número, esto es, que le hayan dado la mano al mismo número de personas.

Solución. Organicemos los cinco números según tengan resto cero, uno o dos al dividirlos entre tres. Si hay tres que tienen el mismo resto, entonces la suma de esos tres es múltiplo de $3$ y, si no hay tres que tengan el mismo resto, entonces debe haber tres que tengan cada uno un resto distinto, en cuyo caso la suma de esos tres es un múltiplo de $3$.

Solución. Si $p(x)$ es constante $\lambda\in\mathbb{R}$, entonces $\lambda=\lambda^{2007}$, de donde $\lambda=0$ ó $\lambda=\pm 1$. Si $p(x)$ no es constante, entonces toma infinitos valores distintos luego si consideramos el polinomio $q(x)=x^{2007}$, la ecuación del enunciado se escribe como $p(p(x))=q(p(x))$ y estamos diciendo que los polinomios $p(x)$ y $q(x)$ toman el mismo valor para infinitos valores de $x$ luego $p(x)=q(x)=x^{2007}$. Tenemos así que los únicos polinomios que cumplen la igualdad propuesta son $p(x)=0$, $p(x)=1$, $p(x)=-1$ y $p(x)=x^{2007}$.