Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Si denotamos por $\{a_1,\ldots,a_{100}\}$ a los términos de la sucesión, entonces podemos escribir $a_k=a_1+(k-1)d$ donde $d$ es la diferencia de la progresión aritmética. Las condición sobre la suma de los términos se traduce en \begin{align*} -1=a_1+a_2+\ldots+a_{100}&=a_1^2+(a_1+d)+\ldots+(a_1+99d)\\ &=100a_1+(1+2+\ldots+99)d=100a_1+4950d \end{align*} y la condición sobre suma de los términos pares se traduce en \begin{align*} 1=a_2+a_4+\ldots+a_{100}&=(a_1+d)+(a_1+3d)+\ldots+(a_1+99d)\\ &=50a_1+(1+3+\ldots+99)d=50a_1+2500d. \end{align*} Tenemos así un sistema de ecuaciones lineales con incógnitas $a_1$ y $d$, que tiene por solución única $d=\frac{3}{50}$ y $a_1=\frac{-149}{50}$. Vamos a usar esto para calcular la suma de los cuadrados: \begin{align*} a_1^2+a_2^2+\ldots+a_{100}^2&=a_1^2+(a_1+d)^2+\ldots+(a_1+99d)^2\\ &=100a_1^2+2(1+2+\ldots+99)a_1d+(1^2+2^2+\ldots+99^2)d^2\\ &=100a_1^2+9900a_1d+328350=\frac{14999}{50}. \end{align*}

Nota. En los cálculos anteriores, hemos usado las fórmulas conocidas para la suma de los $n$ primeros naturales, impares y cuadrados: \[1+2+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2},\qquad 1+3+\ldots+(2n-1)=n^2,\] \[1^2+2^2+\ldots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.\]

Solución. Observemos que podemos escribir $a_n=\frac{7}{9}(10^n-1)$ luego, sacando factor común $\frac{7}{9}$, la suma buscada vale \[S_n=\frac{7}{9}(10+10^2+\ldots+10^n-n)=\frac{7}{9}\left(\frac{10^{n+1}-10}{10-1}-n\right)=\frac{7}{81}(10^{n+1}-9n-10)\] donde se ha usado la fórmula de la suma de los términos de una progresión geométrica.

Solución. Haciendo $x=y$, tenemos que $2xf(x)=f(x^2)+x^2-f(0)$ y, como el miembro de la derecha es par, el de la izquierda también debe serlo, de donde deducimos que $f$ es impar. Si consideramos la función impar $g(x)=f(x)-x$ y sustituimos $f(x)=g(x)+x$ en la ecuación original, llegamos a que $g$ cumple la ecuación funcional $g((x-y)^2)=g(x)^2+2xg(x)-2xg(y)$. Haciendo $x=0$ en esta última ecuación, tenemos que $g(y^2)=g(0)^2$ para todo $y\in\mathbb{R}$, es decir, $g$ es constante en el intervalo $[0,\infty)$ y, como es impar, es constante en todo $\mathbb{R}$, pongamos $g(x)=a$ para cierto $a\in\mathbb{R}$ y, en sustituyendo en la ecuación funcional de $g$, se cumple que $a=a^2$ luego $a=0$ ó $a=1$. Deshaciendo ahora el cambio de función, las únicas posibles soluciones para $f$ son $f(x)=x$ y $f(x)=x+1$ y es fácil comprobar que ambas cumplen la ecuación del enunciado.

Solución. La función \(f\) es sobreyectiva ya que en la ecuación funcional el miembro de la derecha toma todos los valores enteros al mover \(x\) e \(y\). Por tanto, existe \(y_0\) tal que \(f(y_0)=0\) y, sustituyendo \(y=y_0\) en la ecuación, tenemos que \(y_0=0\), de donde \(f(0)=0\). Haciendo ahora \(x=0\) en la ecuación, se tiene que \(f(f(y))=-y\), lo que prueba que \(f\) es inyectiva ya que si \(f(a)=f(b)\) para ciertos \(a,b\in\mathbb{Z}\), entonces \(-a=f(f(a))=f(f(b))=-b\) y \(a=b\). Dado \(a\in\mathbb{Z}\) tal que \(f(a)=1\) y sustituyendo \(y=a\) en la ecuación original, tenemos que \(f(x+1)=f(x)-a\) para todo \(x\in\mathbb{Z}\), de donde se deduce que \(f(x)=f(0)-ax=-ax\) y, por tanto, \(a=\pm 1\) ya que si \(a\neq\pm1\), entonces \(f\) no sería inyectiva. En consecuencia, las únicas posibilidades para \(f\) son \(f(x)=x\) y \(f(x)=-x\) para todo \(x\in\mathbb{Z}\). Como ninguna de estas dos funciones cumple la ecuación del enunciado, deducimos que no existen tales funciones.

Solución. La ecuación funcional nos dice que \(f\) tiene que ser sobreyectiva ya que el miembro de la derecha toma cualquier valor entero al variar \(m,n\in\mathbb{Z}\). Tomando \(n_0\in\mathbb{Z}\) tal que \(f(n_0)=0\) y sustituyendo \(n=n_0\), tenemos que \(n_0=0\) y, por tanto, \(f(0)=0\). Así es claro que \(f(m^2)=f(m)^2\) para todo \(m\in\mathbb{Z}\) y, en particular (para \(m=1\)) tenemos que \(f(1)=f(1)^2\) luego \(f(1)=0\) ó \(f(1)=1\). La primera opción no es posible ya que hemos probado que el único entero que tiene imagen cero es el propio cero, luego \(f(1)=1\). Tomando en la ecuación original \(m=1\), se sigue que \(f(f(n)+1)=f(n)+1\) luego \(f(2)=f(f(1)+1)=f(1)+1=2\), \(f(3)=f(f(2)+1)=f(2)+1=3\) y, reiterando el proceso, se prueba que \(f(n)=n\) para todo \(n\in\mathbb{N}\). Para ver que esto también es válido para los negativos, observemos que \(f(m)^2=f(m^2)=f(-m)^2\) luego \(f(-m)=\pm f(m)\) y, si probamos que \(f\) es inyectiva, tendríamos que \(f(-m)=-f(m)\) y habremos terminado. Para ver que es inyectiva, haciendo \(m=0\) en la ecuación original, \(f(f(n)))=n\) luego si \(f(a)=f(b)\) para ciertos \(a,b\in\mathbb{Z}\), tendremos que \(f(f(a))=f(f(b))\) y \(a=b\).