Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Consideramos las configuraciones de números enteros

$a_{1,1}$
$a_{2,1}$	$a_{2,2}$
$a_{3,1}$	$a_{3,2}$	$a_{3,3}$
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\ddots$
$a_{2017,1}$	$a_{2017,2}$	$a_{2017,3}$	$\cdots$	$a_{2017,2017}$

donde $a_{i,j}=a_{i+1,j}+a_{i+1,j+1}$ para todos los $i,j$ tales que $1\leq j\leq i\leq 2016$. Determinar la máxima cantidad de enteros impares que puede contener tal configuración.

Para cada entero positivo $n$, sea $S(n)$ la suma de sus dígitos. Decimos que $n$ tiene la propiedad P si los términos de la sucesión infinita \[\{n,S(n), S(S(n)), S(S(S(n))),\ldots\}\] son todos pares, y decimos que $n$ tiene la propiedad I si son todos impares. Demostrar que entre todos los enteros positivos $n$ tales que $1\leq n\leq 2017$ son más los que tienen la propiedad I que los que tienen la propiedad P.

En el triángulo $ABC$, los puntos medios de los lados $BC$, $AB$ y $AC$ son $D$, $E$ y $F$, respectivamente. Sean $M$ el punto donde la bisectriz interior de $\angle ADB$ corta al lado $AB$ y $N$ el punto donde la bisectriz interior de $\angle ADC$ corta al lado $AC$. Sean además $O$ el punto de intersección de las rectas $AD$ y $MN$, $P$ el punto de intersección de $AB$ y $FO$, y $R$ el punto de intersección de $AC$ y $EO$. Demostrar que $PR=AD$.

Determina el máximo valor posible de la expresión \[27abc+a\sqrt{a^2+2bc}+b\sqrt{b^2+2ac}+c\sqrt{c^2+2ab},\] siendo $a,b,c$ números reales positivos tales que $a+b+c=\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Se dispone de una fila de $2018$ casillas, numeradas consecutivamente de $0$ a $2017$. Inicialmente, hay una ficha colocada en la casilla $0$. Dos jugadores $A$ y $B$ juegan alternativamente, empezando por $A$, de la siguiente manera: en su turno, cada jugador puede hacer avanzar la ficha $53$ casillas o bien hacerla retroceder $2$ casillas (sin que en ningún momento se sobrepasen las casillas $0$ o $2017$). Gana el jugador que coloque su ficha en la casilla $2017$. ¿Cuál de ellos dispone de una estrategia ganadora y cómo tendría que jugar para asegurarse ganar?