Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Se colorea cada uno de los números $1,2,\ldots,n$ de azul o de rojo. Probar que para $n=2017$ existe una coloración tal que la ecuación $8(x+y)=z$ no tiene soluciones monocromáticas (es decir, con $x,y,z$ del mismo color). Determinar el menor $n$ para el que nunca es posible colorear los números de forma tal que no haya soluciones monocromáticas.

Describir todas las soluciones enteras positivas $(m,n)$ de la ecuación \[8m-7=n^2\] De entre todas las soluciones, calcular el menor valor de $m$ (si existe) mayor que $1959$.

Se considera la función $f:\mathbb{N}\to\mathbb{Z}$ definida para $n\geq 0$ como sigue: \[f(n)=\begin{cases}-f(\frac{n}{2})&\text{si }n\text{ es par},\\ f(n-1)+1&\text{si }n\text{ es impar.}\end{cases}\]

1. Demostrar que $f(n)$ es múltiplo de $3$ si, y solo si, $n$ es múltiplo de $3$.
2. Hallar el menor número n que cumple $f(n) = 2017$.

¿Qué valores han de tener los ángulos $\alpha$, $\beta$ y $\gamma$ de un triángulo $T$ para que este se pueda dividir en tres triángulos congruentes entre sí?

Sea $E$ una elipse y consideremos tres rectas paralelas $r_1$, $r_2$ y $r_3$, cada una de las cuales corta a $E$ en dos puntos distintos. Sean estos puntos $A_1,B_1$, $A_2,B_2$ y $A_3,B_3$, respectivamente. Probar que los puntos medios de los segmentos $A_1B_1$, $A_2B_2$ y $A_3B_3$ están alineados.