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Supongamos sin perder generalidad que $r=2$, luego la ecuación queda $pq+2p+2q=12k+1$. Vamos a probar ahora que uno de los primos $p,q$ es igual a $3$. De nuevo por reducción al absurdo, si $p$ y $q$ son congruentes con $1$ o con $2$ módulo $3$. Entonces, es fácil ver que $pq+2p+2q\equiv 0\ (\text{mod }3)$ si $p\equiv q\equiv 2$ o bien $pq+2p+2q\equiv 2\ (\text{mod }3)$ en caso contrario. No obstante, se tiene que $12k+1\equiv 1\ (\text{mod }3)$.
Podemos suponer entonces que $q=3$ sin perder generalidad y la ecuación original nos queda $5p+5=12k$. Como $k$ es primo y el miembro de la izquierda es múltiplo de $5$, tiene que ser $k=5$. Esto nos da $p=11$. Concluimos que las única posibilidad es que $p,q,r$ sean los primos $2,3,11$ (en cualquier orden) y $k=5$.
Para todos los reales $x_1,x_2,\ldots,x_n\gt 0$ y $0\leq y_1,y_2,\ldots,y_n\leq\frac{1}{2}$ tales que \[x_1+x_2+\ldots+x_n=y_1+y_2+\ldots+y_n=1,\] se tiene que \[x_1x_2\cdots x_n\leq\gamma(x_1y_1+x_2y_2+\ldots+x_ny_n).\]