Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. La suma de los cuatro números que hay dentro de los valores absolutos es $20$, luego la desigualdad triangular nos dice \[|5-x_1-x_2|+|5+x_1-x_2|+|5+x_2+x_3|+|5+x_2-x_3|\geq 20\] para cualesquiera enteros $x_1,x_2,x_3$. Es decir, el problema equivale a ver para cuántos casos se da la igualdad en la desigualdad triangular. Esto ocurre cuando los cuatro números son mayores o iguales que cero o cuando los cuatro son menores o iguales que cero.

• El primer caso nos da $x_1+x_2\leq 5$, $x_2-x_1\leq 5$, $x_2+x_3\geq -5$ y $x_3-x_2\leq 5$. Todo esto se puede escribir equivalentemente como \[x_2-5\leq x_1\leq 5-x_2,\qquad -x_2-5\leq x_3\leq x_2+5.\] Para que este sistema de desigualdades tenga solución tiene que ser $-5\leq x_2\leq 5$ y, para un $x_2$ fijo en este intervalo, tenemos $2(5-x_2)+1$ elecciones para $x_1$ y $2(x_2+5)+1$ elecciones para $x_3$, lo que nos da un total de $(2(5-x_2)+1)(2(x_2+5)+1)=121-4x_2^2$ posibilidades para el par $(x_1,x_3)$. El número total de soluciones en este caso será \[\sum_{x_2=-5}^5(121-4x_2^2)=726-8(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2)=891.\]
• El segundo caso nos da las desigualdades opuestas $x_1+x_2\geq 5$, $x_2-x_1\geq 5$, $x_2+x_3\leq -5$ y $x_3-x_2\geq 5$, que se reescriben como \[5-x_2\leq x_1\leq x_2-5,\qquad 5+x_2\leq x_3\leq-5-x_2.\] Esto no tiene solución ya que debe ser por un lado $x_2\geq 5$ y por otro $x_2\leq -5$.

Por consiguiente, la respuesta al problema es que hay $891$ soluciones enteras.