Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sean $M$ y $N$ puntos del lado $BC$ del triángulo $ABC$ tales que $BM=CN$, estando $M$ en el interior del segmento $BN$. Sean $P$ y $Q$ puntos que están respectivamente en los segmentos $AN$ y $AM$, tales que $\angle PMC=\angle MAB$ y $\angle QNB=\angle NAC$. ¿Es cierto que $\angle QBC=\angle PBC$?

Sean $p$ y $n$ enteros positivos tales que $p$ es primo, $n\geq p$ y $1+np$ es un cuadrado perfecto. Probar que $n+1$ es suma de $p$ cuadrados perfectos no nulos.

Todas las caras de un poliedro son triángulos. A cada uno d elos vértices de este poliedro se le asigna de forma independiente uno de tres colores: verde, blanco o negro. Decimos que una cara es extremeña si sus tres vértices son de distintos colores (uno verde, otro blanco y otro negro, como la bandera de Extremadura). ¿Es cierto que, independientemente de cómo coloreemos los vértices, el número de caras extremeñas de este poliedro es siempre par?

En la pizarra está escrito un entero $N\geq 2$. Dos jugadores $A$ y $B$ juegan alternadamente, empezando por $A$. Cada jugador en su turno reemplaza el número existente por el que resulte de realizar una de estas dos operaciones: restar $1$ o dividir entre $2$, siempre que se obtenga un resultado entero positivo. El jugador que llegue al número $1$ gana. Determinar razonadamente si el menor número par $N$ que le exige a $A$ jugar al menos $2015$ veces para ganar (no se cuentan en esto los turnos de $B$).

En el triángulo $ABC$, sea $A'$ el punto simétrico de $A$ respecto del circuncentro de $ABC$. Demostrar que

1. La suma de los cuadrados de los segmentos de tangentes trazadas desde $A$ y $A'$ a la circunferencia inscrita en $ABC$ es igual a $4R^2-4Rr-2r^2$, siendo $R$ y $r$ los radios de las circunferencias circunscrita e inscrita de $ABC$, respectivamente.
2. La circunferencia de centro $A'$ y radio $A'I$ corta a la circunferencia circunscrita de $ABC$ en un punto $L$ tal que $AL=\sqrt{AB\cdot AC}$.