Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Encuentra todos los enteros positivos $n$ que verifican \[n=2^{2x-1}-5x-3=(2^{2^{x-1}}-1)(2x+1)\] para algún entero positivo $x$.

Sea $n\geq 2$ un entero positivo. Tenemos $2n$ bolas, en cada una de las cuales hay escrito un entero. Se cumple que, siempre que formamos $n$ parejas con las bolas, dos de estas parejas tienen la misma suma.

1. Demuestra que hay cuatro bolas con el mismo número.
2. Demuestra que el número de valores distintos que hay en las bolas es como mucho $n-1$.

Encuentra todas las aplicaciones $f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ que verifican \[f(n)+f(n+1)=2n+1\] para cualquier entero $n$ y además $f(1)+f(2)+\ldots+f(63)=2015$.

El triángulo $\Delta ABC$ es isósceles en $C$ y sea $\Gamma$ su circunferencia circunscrita. Sea $M$ el punto medio del arco $BC$ de $\Gamma$ que no contiene a $A$ y sea $N$ el punto donde la paralela a $AB$ por $M$ vuelve a cortar a $\Gamma$. Se sabe que $AN$ es paralela a $BC$. ¿Cuáles son las medidas de los ángulos de $\Delta ABC$?

Alrededor de una mesa circular están sentadas seis personas. Cada una lleva un sombrero. Entre cada dos personas hay una mampara de modo que cada una puede ver los sombreros de las tres que están enfrente, pero no puede ver el de la persona de su izquierda ni el de la de su derecha ni el suyo propio. Todas saben que tres de los sombreros son blancos y tres negros. También saben que cada una de ellas es capaz de obtener cualquier deducción lógica que sea factible. Empezamos por una de las seis personas y le preguntamos "¿puedes deducir el color de algún sombrero de los que no ves?" Una vez que ha respondido (todas oyen la respuesta), pasamos a la persona de su izquierda y le hacemos la misma pregunta, y así sucesivamente. Demostrar que una de las tres primeras responderá "Sí".