Olimpiadas de Matemáticas
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Problema 979
Hallar todas las ternas de reales positivos $(x,y,z)$ que cumplen el sistema
\[\left\{\begin{align*}
2x\sqrt{x^2+1}-y(y+1)=1,\\
2y\sqrt{y^2+1}-z(z+1)=1,\\
2z\sqrt{z^2+1}-x(x+1)=1.
\end{align*}\right.\]
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Problema 978
En una recta tenemos cuatro puntos $A$, $B$, $C$ y $D$, en ese orden, de forma que $AB=CD$. El punto $E$ es un punto fuera de la recta tal que $CE=DE$. Demostrar que $\angle CED=2\angle AEB$ si, y solo si, $AC=EC$.
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Problema 977
Los enteros positivos $x,y,z$ cumplen
\[x+2y=z,\qquad x^2−4y^2+z^2=310.\]
Hallar todos los posibles valores del producto $xyz$.
pistasolución 1info
Pista. Despeja $y$ en la primera ecuación y sustituye en la segunda.
Solución. Despejando $2y=z-x$ en la primera ecuación y sustituyendo en la segunda, tenemos que
\[310=x^2-(2y)^2+z^2=x^2-(z-x)^2+z^2=2xz,\]
luego $xz=155$. Podemos factorizar $155=5\cdot 31$, lo que nos da muy pocas opciones para el par $(x,z)$. Además, tenemos que $2y=z-x$, luego tiene que ser $z\gt x$ ya que $y$ debe ser un entero positivo:
- Si $(x,z)=(1,155)$, entonces $y=77$ y $xyz=11935$.
- Si $(x,z)=(5,31)$, entonces $y=13$ y $xyz=2015$ (¡el año!).
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Problema 976
Un campeonato de baloncesto se ha jugado por sistema de liga a dos vueltas
(cada par de equipos se enfrentan dos veces) y sin empate (si el partido
acaba en empate hay prórrogas hasta que gane uno de los dos). El ganador
del partido obtiene 2 puntos y el perdedor 1 punto. Al final del campeonato,
la suma de de los puntos obtenidos por todos los equipos salvo el campeón
es de $2015$ puntos. ¿Cuántos partidos ha ganado el campeón?
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Problema 975
Sean $r$ y $s$ dos rectas paralelas y $A$ un punto fijo a igual distancia de ambas rectas. Para cada punto $B$ de la recta $r$, sea $C$ el punto de la recta $s$ tal que $\angle BAC=90^\circ$ y sea $P$ el pie de la perpendicular desde $A$ sobre la recta $BC$. Demuestra que, independientemente de qué punto $B$ de la recta $r$ tomemos, el punto $P$ está sobre una circunferencia fija.
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