Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Demuestra que \[(ax + by)^2\leq ax^2 + by^2\] para cualesquiera $x,y\in\mathbb{R}$ y cualesquiera $a,b\in\mathbb{R}$ con $a+b=1$, $a,b\geq 0$. ¿En qué casos se da la igualdad?

Dado un conjunto $X$ y una función $f:X\to X$, denotamos, para cada $x\in X$, $f^1(x)=f(x)$ y, para cada $j\geq 1$, $f^{j+1}(x)=f(f^j(x))$. Decimos que $a\in X$ es un punto fijo de $f$ si $f(a)=a$. Para cada número real $x$, definimos $\pi(x)$ como la cantidad de primos positivos menores o iguales que $x$. Dado un número entero positivo $n$, decimos que $f:\{1,2,\ldots,n\}\to\{1,2,\ldots,n\}$ es catracha si $f^{f(k)}(k)=k$ para todo $k\in\{1,2,\ldots,n\}$. Probar que:

1. Si $f$ es catracha, entonces $f$ tiene al menos $\pi(n)-\pi(\sqrt{n})+1$ puntos fijos.
2. Si $n\geq 36$, existe una función catracha con exactamente $\pi(n)-\pi(\sqrt{n})+1$ puntos fijos.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo y $H$ el punto de intersección de sus alturas. La altura desde $A$ corta a $BC$ en $D$. Sean $M$ y $N$ los puntos medios de $BH$ y $CH$, respectivamente. $DM$ y $DN$ intersecan a $AB$ y $AC$ en $X$ e $Y$, respectivamente. Si $XY$ interseca a $BH$ en $P$ y a $CH$ en $Q$, demostrar que $H$, $P$, $D$ y $Q$ están en una misma circunferencia.

Se tienen $N$ monedas, de las cuales $N-1$ son auténticas de igual peso y una es falsa, de peso diferente de las demás. El objetivo es, utilizando exclusivamente una balanza de dos platos, hallar la moneda falsa y determinar si es más pesada o más liviana que las auténticas. Cada vez que se pueda deducir que una o varias monedas son auténticas, entonces todas estas monedas se separan inmediatamente y no se pueden usar en las siguientes pesadas. Determine todos los $N$ para los que se puede lograr con certeza el objetivo. (Se pueden hacer tantas pesadas como se desee.)

Sobre una circunferencia se marcan $2014$ puntos. Sobre cada uno de los segmentos cuyos extremos son dos de los $2014$ puntos, se escribe un número real no negativo. Se sabe que para cualquier polígono convexo cuyos vértices son algunos de los $2014$ puntos, la suma de los números escritos en sus lados es menor o igual que $1$. Determinar el máximo valor posible de la suma de todos los números escritos.