Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Hallar todos los polinomios $P(x)$ con coeficientes reales tales que $P(2014)=1$ y, para algún entero $c$, se cumple que \[xP(x-c)=(x-2014)P(x).\]

Para cada entero positivo $n$, se define $s(n)$ como la suma de los dígitos de $n$. Determinar el menor entero positivo $k$ tal que \[s(k) = s(2k) = s(3k) =\ldots= s(2013k) = s(2014k).\]

Se tienen $60$ puntos en el interior de un círculo de radio $1$ (incluyendo la circunferencia frontera). Demostrar que existe un punto $V$ de la frontera del disco tal que la suma de las distancias de $V$ a los $60$ puntos es menor que $80$.

El conjunto $M$ está formado por los números enteros de la forma $a^2+13b^2$, con $a$ y $b$ distintos de cero.

1. Demostrar que el producto de dos elementos cualesquiera de $M$ es un elemento de $M$.
2. Determinar razonadamente si existen infinitos pares de enteros $(x,y)$ tales que $x+y$ no pertenece a $M$ pero $x^{13}+y^{13}$ sí pertenece a $M$.

Sean $B$ y $C$ dos puntos fijos de una circunferencia de radio $O$ que no sean diametralmente opuestos. Sea $A$ un punto variable sobre la circunferencia, distinto de $B$ y $C$, y que no pertenece a la mediatriz de $BC$. Sean $H$ el ortocentro del triángulo $ABC$ y $M$ y $N$ los puntos medios de los segmentos $BC$ y $AH$, respectivamente. La recta $AM$ corta de nuevo a la circunferencia en $D$ y, finalmente, $NM$ y $OD$ se cortan en un punto $P$. Determinar el lugar geométrico del punto $P$ cuando $A$ recorre la circunferencia.