Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Pasando todos los términos al segundo miembro podemos identificar algunos cuadrados perfectos y reescribir la desigualdad como \[(1-x)(x-y)^2+y(1-y)+x\geq 0.\] Esta desigualdad es evidente ya que 0\leq x,y\leq 1$.

Solución. Si llamamos $\alpha,\beta,\gamma$ a las tres raíces de $p(x)$, entonces podemos escribir \begin{align*} p(x)&=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)\\ &=x^3-(\alpha+\beta+\gamma)x^2+(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)x-\alpha\beta\gamma, \end{align*} de modo que identificando coeficientes obtenemos las relaciones de Cardano-Vieta: \[\alpha+\beta+\gamma=2,\qquad \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=-25,\qquad\alpha\beta\gamma=a.\] Esto nos permite calcular \[\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=(\alpha+\beta+\gamma)^2-2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)=4+2\cdot 25=54.\] Las raíces son números enteros y las únicas formas de escribir $54$ como suma de tres cuadrados son $49+4+1$, $36+9+9$ y $25+25+4$. Reordenando las raíces si es necesario, distinguimos tres casos:

• Si $\alpha=\pm 7$, $\beta=\pm 2$ y $\gamma=\pm 1$, es imposible que se cumpla que $\alpha+\beta+\gamma=2$ (el sumando $\alpha=\pm 7$ es demasiado grande en valor absoluto para que sumarle $\beta+\gamma$ lo hagan igual a $2$), luego no hay soluciones en este caso.
• Si $\alpha=\pm 6$, $\beta=\pm 3$ y $\gamma=\pm 3$, también es imposible que se cumpla que $\alpha+\beta+\gamma=2$ ya que $\alpha+\beta+\gamma$ siempre dará un múltiplo de tres independientemente de los signos elegidos.
• Si $\alpha=\pm 5$, $\beta=\pm 5$ y $\gamma=\pm 2$, entonces la condición $\alpha+\beta+\gamma=2$ fuerza a que $\alpha=5$, $\beta=-5$ y $\gamma=2$ (salvo posiblemente intercambiar $\alpha$ y $\beta$). Tenemos entonces que $\alpha\beta\gamma=5\cdot(-5)\cdot 2=-50$, luego $a=50$ único valor que cumple la condición del enunciado.

Solución. El teorema de Euler-Fermat nos dice que $a^{\varphi(m)}\equiv 1(\ \text{mod }m)$ siempre que $\mathrm{mcd}(a,m)=1$. Podemos aplicar esto para $a=7$ y $m=1000$ (que claramente son primos entre sí), teniendo en cuenta que $\varphi(1000)=\varphi(2^3\cdot 5^3)=(2-1)2^2(5-1)5^2=400$. En otras palabras, tenemos que \[7^{2014}=(7^{400})^5\cdot 7^{14}\equiv 7^{14}\ (\text{mod }1000).\] Ahora podemos calcular $7^{14}$ módulo $1000$ haciendo unas pocas multiplicaciones y quedándonos con la últimas tres cifras (calcular $7^{14}$ completamente lleva un buen rato y podría llevar a más errores): \begin{align*} 7^2&\equiv 49\ (\text{mod }1000),&7^3&\equiv 49\cdot 7\equiv 343\ (\text{mod }1000),\\7^6&\equiv 343\cdot 343\equiv\ 649\ (\text{mod }1000),&7^{12}&\equiv 649\cdot 649\equiv\ 201\ (\text{mod }1000),\\ 7^{14}&\equiv 201\cdot 49\equiv\ 849(\text{mod }1000). \end{align*} Deducimos así que las últimas cifras son $849$.

Nota. La menor potencia $7^n$ que da resto $1$ módulo $1000$ es $n=20$ (un divisor de $\varphi(1000)=400$. Se puede encontrar después de probar un poco si nos damos cuenta de que $7^4\equiv 401\ (\text{mod }1000)$ y que, por consiguiente, potencias de la forma $7^{4k}$ tienen por últimos dígitos $01$. Esto evitaría tener que usar el teorema de Euler-Fermat.