Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. La desigualdad entre las medias aritmética y cuadrática aplicada a $\sqrt{ab}$ y $\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$ nos da \[\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}}{2}\leq\sqrt{\frac{ab+\frac{a^2+b^2}{2}}{2}}=\sqrt{\frac{2ab+a^2+b^2}{4}}=\frac{a+b}{2},\] luego tenemos la desigualdad del enunciado.

Solución. Vamos analizar si $(x+y)^{2n+1}-x^{2n+1}-y^{2n+1}$ es múltiplo de $(x+y)^3-x^3-y^3$ para dos enteros $x,y\in\mathbb{Z}$ y $n\in\mathbb{N}$. Para ello, observamos que $(x+y)^3-x^3-y^3=3xy(x+y)$ y, desarrollamos por el binomio de Newton, podemos factorizar \begin{align*} (x+y)^{2n+1}-x^{2n+1}-y^{2n+1}&=\binom{2n+1}{1}x^{2n}y+\binom{2n+1}{2}x^{2n-1}y^2+\ldots+\binom{2n+1}{2n}xy^{2n}\\ &=xy\left(\binom{2n+1}{1}x^{2n-1}+\binom{2n+1}{2}x^{2n-2}y+\ldots+\binom{2n+1}{2n}y^{2n-1}\right) \end{align*} Si vemos el último paréntesis grande como un polinomio $p(x)$ para un valor fijo de $y$, tenemos además que \begin{align*} p(-y)&=\binom{2n+1}{1}(-y)^{2n-1}+\binom{2n+1}{2}(-y)^{2n-2}y+\ldots+\binom{2n+1}{2n}y^{2n-1}\\ &=y^n\left(-\binom{2n+1}{1}+\binom{2n+1}{2}-\ldots+\binom{2n+1}{2n}\right)=0 \end{align*} ya que la suma alternada de números combinatorios es cero. Esto nos dice que podemos factorizar como polinomios $p(x)=(x+y)q(x,y)$, luego podemos factorizar $(x+y)^{2n+1}-x^{2n+1}-y^{2n+1}=xy(x+y)q(x,y)$. Nos falta por ver que podemos sacar también el factor $3$ y para ello haremos $x=1013$ e $y=1001$, lo que nos da \[(x+y)^{2n+1}-x^{2n+1}-y^{2n+1}\equiv 2^{2n+1}-1^{2n+1}-1^{2n+1}=2\cdot 1^{2n}-1-1\equiv 0\ (\text{mod }3.\] Sin embargo, tenemos que $xy(x+y)\equiv 1\cdot 1\cdot 2\not\equiv 0\ (\text{mod }3)$, luego $(x+y)^{2n+1}-x^{2n+1}-y^{2n+1}$ es múltiplo de $3xy(x+y)$ para todo $n\in\mathbb{N}$, en particular, para $n=1006$.

Nota. No es cierto en general que $(x+y)^{2n+1}-x^{2n+1}-y^{2n+1}$ sea múltiplo de $(x+y)^3-x^3-y^3=3xy(x+y)$ y el problema justamente es el $3$ final. No es difícil completar el argumento para ver que esta propiedad es cierta para todo $n$ si, y sólo si, $x\equiv y\equiv 1$ o bien $x\equiv y\equiv 2$ (mod $3$).

Solución. Si $y=0$, entonces se tiene que $x=0$ y obtenemos la solución $(0,0)$. Si $y\neq 0$, podemos dividir entre $y^4$ para obtener la ecuación equivalente \[\frac{x^4}{y^4}+1=3\frac{x^3}{y^3}\ \Leftrightarrow z^4-3z^3+1=0,\] donde hemos puesto la variable $z=\frac{x}{y}$. Buscamos ahora soluciones racionales de esta ecuación, pero sabemos que el numerador de una tal solución tiene que dividir al término independiente y el denominador al de mayor grado, luego las únicas posibles soluciones racionales de $z^4-3z^3+1=0$ son $z=\pm 1$. Ninguna de ellas cumple la ecuación, luego no hay más soluciones a la ecuación original que $(x,y)=(0,0)$.

Solución. Vamos a fijarnos en donde pueden estar colocados los 46 números más grandes (los números del 45 al 90, que son la mitad más uno). Si dividimos los 90 vértices en 45 parejas de vértices consecutivos, el principio del palomar nos dice que hay al menos una de esas parejas cuyos números son ambos mayores o iguales que 45, lo que nos da una pareja cuyo producto es mayor o igual que $45\cdot 46=2070\gt 2014$.