Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

• Si $x\leq 0$, por un lado tenemos que $y^3=3-x^3\geq 3$, luego $y\geq\sqrt[3]{3}$ y, por otro lado, $y^2=2-x^2\leq 2$ implica que $y\leq\sqrt{2}$, luego se cumpliría que $\sqrt[3]{3}\leq y\leq\sqrt{2}$. Esto es una contradicción ya que la realidad es que $\sqrt{2}\lt\sqrt[3]{3}$ (¿sabrías demostrarlo sin usar calculadora?).
• Si $x\geq 0$, entonces $x\leq\sqrt{2}$, luego $y^3=3-x^3\geq 3-2\sqrt{2}\geq 0$, es decir, $y$ tampoco es negativo. Desarrollamos \begin{align*} (x^2+y^2)^3-(x^3+y^3)^2&=x^6+3x^4y^2+3x^2y^4+y^6-x^6-2x^3y^3-y^6\\ &=x^2y^2(3x^2-2xy+3y^2)=x^2y^2(2x^2+(x-y)^2+2y^2)\geq 0. \end{align*} Como $x$ e $y$ no son negativos, deducimos que $(x^2+y^2)^{1/2}\geq (x^3+y^3)^{1/3}$ (ver la nota), lo que nos da $\sqrt{2}\geq\sqrt[3]{3}$, pero esto ya hemos dicho que es absurdo.

Recordemos que hemos probado así que la ecuación no tiene solución.

Nota. La desigualdad $(x^2+y^2)^3-(x^3+y^3)^2\geq 0$ es, en realidad, parte de la desigualdad entre normas $\ell^p$, que nos dice que, si $1\leq p\lt q$ y $x_1,x_2\ldots,x_n$ son números reales, entonces \[(|x_1|^q+|x_2|^q+\ldots+|x_n|^q)^{1/q}\leq (|x_1|^p+|x_2|^p+\ldots+|x_n|^p)^{1/p}.\] Aquí hemos dado una demostración ad hoc para $n=2$, $p=2$ y $q=3$.