Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sea $A=\{1,2,3,\ldots,n\}$ con $n\gt 5$. Demostrar que existe un conjunto finito $B$ de enteros positivos distintos tal que $A\subseteq B$ tal que \[\prod_{x\in B}x=\sum_{x\in B}x^2,\] es decir, el producto de los elementos de $B$ es igual a la suma de los elementos de $B$.

Sean $X$ e $Y$ los extremos de un diámetro de una circunferencia $\Gamma$ y $N$ el punto medio de uno de los arcos $XY$ de $\Gamma$. Sean $A$ y $B$ dos puntos en el segmento $XY$. Las rectas $NA$ y $NB$ cortan nuevamente a $\Gamma$ en los puntos $C$ y $D$, respectivamente. Las tangentes a $\Gamma$ en $C$ y $D$ se cortan en $P$. Sea $M$ el punto de intersección del segmento $XY$ con el segmento $NP$. Demostrar que $M$ es el punto medio del segmento $AB$.

Un conjunto $S$ de enteros positivos se llama canalero si para cualesquiera tres números $a,b,c\in S$, todos diferentes, se cumple que $a$ divide a $bc$, $b$ divide a $ca$ y $c$ divide a $ab$.

1. Demostrar que, para cualquier conjunto finito de enteros positivos $\{c_1,c_2,\ldots,c_n\}$, existen infinitos enteros positivos $k$ tales que el conjunto $\{kc_1, kc_2,\ldots,kc_n\}$ es canalero.
2. Demostrar que, para cualquier entero $n\geq 3$, existe un conjunto canalero que tiene exactamente $n$ elementos y ningún entero mayor que $1$ divide a todos sus elementos.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo tal que \[AB+CD=\sqrt{2}\,AC\qquad\text{y}\qquad BC+DA=\sqrt{2}\,BD.\] ¿Qué forma tiene dicho cuadrilátero?

Estudia si existe una sucesión estrictamente creciente de enteros $0=a_0\lt a_1\lt a_2\lt \ldots$ que cumpla simultáneamente las dos condiciones siguientes:

• Todo número natural puede escribirse como suma de dos términos, no necesariamente distintos, de la sucesión.
• Para cada entero positivo $n$, se cumple que $a_n\gt\frac{n^2}{16}$.