Olimpiadas de Matemáticas
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Todos los problemas
La base de datos contiene 1154 problemas y 775 soluciones.
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Problema 944
¿Existen infinitos enteros positivos que no pueden representarse en la forma
\[a^3+b^5+c^7+d^9+e^{11},\]
para $a,b,c,d,e$ enteros positivos? Razonar la respuesta.
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Problema 943
Sean $k$ y $n$ enteros positivos con $n\geq k\geq 3$. Se consideran $n+1$ puntos en el plano no alineados entre sí tres a tres. A cada segmento que une entre sí dos de esos puntos se le asigna un color de entre $k$ colores dados. Se dice que un ángulo es bicolor si tiene por vértice uno de los $n+1$ puntos y por lados dos de los segmentos anteriores que sean de distinto color. Demostrar que existe una coloración tal que el número de ángulos bicolores es estrictamente mayor que
\[n\left\lfloor\frac{n}{k}\right\rfloor\binom{k}{2}.\]
Nota. $\lfloor x\rfloor$ denota la parte entera de un número real $x$.
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Problema 942
Determina todos los enteros positivos $n$ para los que
\[S_n=x^n+y^n+z^n\]
es constante, cualesquiera que sean $x,y,z$ reales tales que $xyz=1$ y $x+y+z=0$.
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Problema 941
OME Local, 2013-P12
Sean $A$, $B$ y $C$ los vertices de un triángulo y $P$, $Q$ y $R$ los respectivos pies de las bisectrices trazadas desde esos mismos vértices. Sabiendo que $PQR$ es un triángulo rectángulo en $P$, demostrar las siguientes afirmaciones:
- $ABC$ es obtusángulo.
- En el cuadrilátero $ARPQ$, pese a no ser cíclico, la suma de sus ángulos opuestos es constante.
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Problema 940
OME Local, 2013-P11
Resuelve la ecuación
\[2^x\cdot 3^{5^{-x}}+\frac{3^{5^x}}{2^x}=6.\]
pistasolución 1info
Pista. Utiliza la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica. para eliminar las potencias de $2$.
Solución. La desigualdad entre las medias aritmética y geométrica nos dice que
\[2^x\cdot 3^{5^{-x}}+\frac{3^{5^x}}{2^x}\geq 2\sqrt{3^{5^{-x}}\cdot 3^{5^x}}=2\sqrt{3^{5^{-x}+5^x}}\geq 2\sqrt{3^2}=6,\]
donde también hemos usado que la suma de un número positivo y su inverso es mayor o igual que $2$, luego $5^{-x}+5^x\geq 2$ para todo $x\in\mathbb{R}$. Ahora bien, la igualdad en esta última desigualdad se alcanza si, y sólo si, $5^x=1$, lo que nos dice que la única solución posible es $x=0$. Comprobamos que efectivamente $x=0$ es solución, luego es la única.
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