Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Si llamamos $\alpha,\beta,\gamma$ a las tres raíces de $p(x)$, entonces podemos escribir \begin{align*} p(x)&=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)\\ &=x^3-(\alpha+\beta+\gamma)x^2+(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)x-\alpha\beta\gamma, \end{align*} de modo que (identificando coeficientes) obtenemos las relaciones de Cardano-Vieta: \[\alpha+\beta+\gamma=-2,\qquad \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=3,\qquad\alpha\beta\gamma=-4.\] Esto nos permite calcular \[\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=(\alpha+\beta+\gamma)^2-2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)=(-2)^2-2\cdot 3=-2.\] Con un poco más de esfuerzo, podemos expresar también la suma de los cubos en términos de las cantidades conocidas desarrollando \begin{align*} (\alpha+\beta+\gamma)^3&=\alpha^3+\beta^3+\gamma^3+3[\alpha\beta^2+\alpha\gamma^2+\beta\alpha^2+\beta\gamma^2+\gamma\alpha^2+\gamma\beta^2]+6\alpha\beta\gamma \end{align*} y también \[(\alpha\beta+\beta\gamma+\alpha\gamma)(\alpha+\beta+\gamma)=[\alpha\beta^2+\alpha\gamma^2+\beta\alpha^2+\beta\gamma^2+\gamma\alpha^2+\gamma\beta^2]+3\alpha\beta\gamma.\] Podemos despejar en ambas e igualar el término entre corchetes para llegar a que \begin{align*} \alpha^3+\beta^3+\gamma^3&=(\alpha+\beta+\gamma)^3-3(\alpha\beta+\beta\gamma+\alpha\gamma)(\alpha+\beta+\gamma)+3\alpha\beta\gamma\\ &=(-2)^3-3\cdot 3\cdot(-2)+3\cdot (-4)=-2. \end{align*} Vemos así que $\alpha+\beta+\gamma=\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=\alpha^3+\beta^3+\gamma^3=-2$.

Nota. El cálculo de polinomios simétricos de las raíces de polinomios es un tema recurrente en las olimpiadas y este problema es más bien un ejercicio estándar.