Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Un triángulo rectángulo puede recubrirse con un semicírculo de diámetro su hipotenusa. Si descomponemos el triángulo en tres triángulos rectángulos de hipotenusa menor que $\frac{3}{5}$, habremos terminado puesto que por el principio del palomar en uno de ellos tienen que encontrarse $9$ de los puntos (si en cada uno hubiera $8$ o menos puntos, entonces el total de puntos no podría exceder $8\cdot 3=24$).

Llamamos $A$ al vértice con el ángulo recto, $B$ al vértice de $30^\circ$ y $C$ al de $60^\circ$. Sea $D$ el punto interior de $BC$ tal que $BE=\frac{3}{5}$ y trazamos la perpendicular a la hipotenusa $BC$ que pasa por $E$ y corta a $BC$ en otro punto $E$. Entonces, tenemos $ABC$ descompuesto como unión de los tres triángulos rectángulos $BDE$, $ACD$ y $BDE$, como se indica en la figura. Ahora bien, $BDE$ tiene hipotenusa $BD=\frac{3}{5}$, mientras que $ACD$ y $BDE$ comparten hipotenusa $CD$. El teorema de Pitágoras nos dice que \begin{align*} CD^2&=DA^2+AC^2=(AB-BD)^2+AC^2=(\mathrm{sen}(60)-\tfrac{3}{5})^2+\mathrm{cos}^2(60)\\ &=(\tfrac{\sqrt{3}}{2}-\tfrac{3}{5})^2+(\tfrac{1}{2})^2=\tfrac{34-15\sqrt{3}}{25} \end{align*} Tenemos que ver que este número es menor que $\frac{3}{5})^2=\frac{9}{25}$, lo que equivale a ver que $34-15\sqrt{3}\lt 9$ o, más simplificadamente, $5\lt 3\sqrt{3}$. Esto es inmediato ya que, elevando al cuadrado por ser números positivos, la desigualdad se reduce a $25\lt 27$.

Solución. Usando que $abc=1$ y la hipótesis de que la suma de los números es mayor que la de la suma de sus recíprocos (inversos multiplicativos), podemos escribir \begin{align*} 0&\lt a+b+c-\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{c}=a+b+\frac{1}{ab}-\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-ab\\ &=\frac{a^2b+ab^2+1-b-a-a^2b^2}{ab}=\frac{(a-1)(b-1)(1-ab)}{ab}\\ &=(a-1)(b-1)(\tfrac{1}{ab}-1)=(a-1)(b-1)(c-1). \end{align*} Esta desigualdad estricta nos dice que ninguno de los números puede ser igual a $1$. Para que el producto de los signos en $(a-1)(b-1)(c-1)$ sea positivo, exactamente uno de los tres números debe ser mayor que $1$ (si los tres números son mayores que $1$, entonces el producto también sería positivo pero tendríamos $abc\gt 1$, en contra de lo que nos dice el enunciado).