Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Nota. Aunque parezca muy sofisticada la solución, se puede llegar a ella tras diversas pruebas. En primer lugar, los números obtenidos de esta forma son múltiplos del dígito que usamos en el proceso. Como $2011$ no es divisible entre $2$, $3$, $5$ o $7$ (en realidad, $2011$ es primo), el único dígito que podría funcionar es el $1$. Como multiplicar por $1$ no tiene efecto, el problema se reduce a decidir si $2011$ se escribe como suma o diferencia de números que son producto con factores $11,111,1111,\ldots$ más o menos posiblemente un 1. Por otro lado, hay que tener en cuenta que en la olimpiada tenemos tiempo para hacer pruebas. Esta solución la hemos obtenido con el siguiente razonamiento: primero nos damos cuenta de que $1011=1111-111+11$ y nos queda obtener el $1000$ restante con factores más grandes. Empezando por $1111\cdot 1111=1234321$ restamos $1111\cdot 111\cdot 11=1356531$ para eliminar las unidades de millón, luego sumamos $111\cdot 111\cdot 11=135531$ para eliminar las centenas de millar, luego restamos $111\cdot 111=12321$ para eliminar las decenas de millar, números que hemos calculado previamente. Por un golpe de suerte, hemos obtenido el resultado $1000$ deseado (aunque puede razonarse que es así trabajando módulo $1000$).