Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Determinar si existen números enteros positivos $a$ y $b$ tales que todos los términos de la sucesión definida por $x_1=2010$, $x_2=2011$ y \[x_{n+2}=x_n+x_{n+1}+a\sqrt{x_nx_{n+1}+b}\quad \text{para todo }n\geq1,\] sean enteros.

Sea $p$ un número primo y $A$ un subconjunto infinito de los números naturales. Sea $f_A(n)$ el número de soluciones distintas de la ecuación $x_1+x_2+\ldots+x_p=n$ con $x_1,x_2,\ldots,x_p\in A$. ¿Existe algún entero $N$ tal que $f_A(n)$ sea constante para todo $n\gt N$?

Sea $P$ un punto cualquiera de la bisectriz del ángulo $A$ de un triángulo $ABC$ y sean $A',B',C'$ puntos de las rectas $BC,CA,AB$, respectivamente, tales que $PA'$ es perpendicular a $BC$, $PB'$ es perpendicular a $CA$ y $PC'$ es perpendicular a $AB$. Demostrar que $PA'$ y $B'C'$ se cortan sobre la mediana $AM$, siendo $M$ el punto medio de $BC$.

Sean $a,b,c$ tres números reales positivos. Demostrar que \[\frac{a+b+3c}{3a+3b+2c}+\frac{a+3b+c}{3a+2b+3c}+\frac{3a+b+c}{2a+3b+3c}\geq\frac{15}{8}.\]

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo y sea $P$ la intersección de sus diagonales $AC$ y $BD$ y supongamos que cumple $\angle APD=60^\circ$. Sean $E,F,G,H$ los puntos medios de los lados $AB,BC,CD,DA$, respectivamente. Hallar el mayor número real positivo $k$ tal que \[EG+3HF\geq kd+(1-k)s,\] siendo $s$ el semiperímetro de $ABCD$ y $d$ la suma de las longitudes de las diagonales.