Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Distinguimos casos según el resto de dividir $n$ entre $6$.

• Si $n=6k$, entonces $\lfloor\frac{n}{2}\rfloor=\lfloor 3k\rfloor=3k$ y $\lfloor\frac{2n}{3}\rfloor=\lfloor 4k\rfloor=4k$, luego la ecuación queda $7k=6k+335$, cuya solución es $k=335$. Tenemos así que $n=6\cdot 335=2010$.
• Si $n=6k+1$, entonces $\lfloor\frac{n}{2}\rfloor=\lfloor 3k+\frac{1}{2}\rfloor=3k$ y $\lfloor\frac{2n}{3}\rfloor=\lfloor 4k+\frac{2}{3}\rfloor=4k$, luego la ecuación queda $7k=6k+336$, cuya solución es $k=336$. Tenemos así que $n=6\cdot 336+1=2017$.
• Si $n=6k+2$, entonces $\lfloor\frac{n}{2}\rfloor=\lfloor 3k+1\rfloor=3k+1$ y $\lfloor\frac{2n}{3}\rfloor=\lfloor 4k+\frac{4}{3}\rfloor=4k+1$. La ecuación queda $7k+2=6k+337$, luego $k=335$ y $n=6\cdot 335+2=2012$.
• Si $n=6k+3$, entonces $\lfloor\frac{n}{2}\rfloor=\lfloor 3k+\frac{3}{2}\rfloor=3k+1$ y $\lfloor\frac{2n}{3}\rfloor=\lfloor 4k+2\rfloor=4k+2$. La ecuación queda $7k+3=6k+338$, luego $k=335$ y $n=6\cdot 335+3=2013$.
• Si $n=6k+4$, entonces $\lfloor\frac{n}{2}\rfloor=\lfloor 3k+2\rfloor=3k+2$ y $\lfloor\frac{2n}{3}\rfloor=\lfloor 4k+\frac{8}{3}\rfloor=4k+2$. La ecuación queda $7k+4=6k+339$, luego $k=335$ y $n=6\cdot 335+4=2014$.
• Si $n=6k+5$, entonces $\lfloor\frac{n}{2}\rfloor=\lfloor 3k+\frac{5}{2}\rfloor=3k+2$ y $\lfloor\frac{2n}{3}\rfloor=\lfloor 4k+\frac{10}{3}\rfloor=4k+3$. La ecuación queda $7k+5=6k+340$, luego $k=335$ y $n=6\cdot 335+5=2015$.

Deducimos así que las soluciones son 2010, 2012, 2013, 2014, 2015 y 2017.

Solución. Sean $a$ la hipotenusa y $b$ y $c$ los catetos. Vamos a plantear un sistema de tres ecuaciones para obtener sus valores. Por un lado, tenemos la condición sobre el perímetro $a+b+c=96$ y la condición sobre la altura podemos escribirla calculando el área de dos formas distintas como base por altura entre $2$, esto es, se tiene que $\frac{1}{2}bc=\frac{1}{2}bh$. Finalemente, la tercera ecuación nos la da el teorema de Pitágoras $a^2=b^2+c^2$. Tenemos, pues, el siguiente sistema: \[\left\{\begin{array}{l}a+b+c=96\\bc=\frac{96}{5}a\\a^2=b^2+c^2\end{array}\right.\] Sumando dos veces la segunda ecuación a la tercera para completar el cuadrado y despejando $b+c$ de la primera, obtenemos una ecuación que sólo involucra a $a$: \[a^2+\frac{192}{5}a=b^2+c^2+2bc=(b+c)^2=(96-a)^2.\] Esta ecuación es de primer grado y nos da fácilmente $a=40$. Ahora las dos primeras ecuaciones del sistema nos dicen que $b+c=56$ y $bc=\frac{96}{5}\cdot 40=768$. Teniendo la suma y el producto, sabemos que $b$ y $c$ son las soluciones de la ecuación $x^2-56x+768=0$. Esta se resuelve con la fórmula de la ecuación de segundo grado y nos da las soluciones $x=24$ y $x=32$. Deducimos que los lados del triángulo rectángulo tienen longitudes 24, 32 y 56.

Solución. Vamos a distinguir tres casos:

• Si $n$ es impar, entonces la suma de los elementos de $I_n$ es impar, luego no se puede descomponer en dos subconjuntos disjuntos con la misma suma $S$ (la suma de todos los elementos de $I_n$ sería $2S$, que es par).
• Si $n$ es múltiplo de $4$, entonces sí se puede. Una forma de hacerlo es emparejar el primero con el último, el segundo con el penúltimo y así sucesivamente. Se forma así un número par de parejas con la misma suma cada una de ellas. Bastará entonces unir la mitad de las parejas por un lado y la otra mitad por otro para formar los dos subconjuntos.
• Si $n$ es par pero no múltiplo de $4$, tenemos que $I_2=\{1,3\}$ no se puede pero $I_6=\{1,3,5,7,9,11\}$ se puede descomponer en $\{1,3,5,9\}$ y $\{7,11\}$. Para todo número de la forma $4k+6$ con $k\geq 1$, podemos separar los seis primeros elementos de $I_n$ de la misma forma que los de $I_6$ y luego emparejar los $4k$ restantes (el primero con el último, el segundo con el penúltimo,...) en $2k$ parejas de la misma suma. Entonces, $I_n=A\cup B$, siendo $A$ el conjunto unión de $k$ parejas con $\{1,3,5,9\}$ y $B$ igual a la unión de $\{7,11\}$ con las otras $k$ parejas.

Deducimos de todo esto que los valores de $n$ para los que $I_n$ se descompone en dos subconjuntos disjuntos de la misma suma son los pares mayores o iguales que $4$.