Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Podemos factorizar \[n^{19}-n^7=n^7(n^{12}-1)=n\cdot n^6\,(n^6+1)(n^6-1).\] Observamos que $n^6-1$, $n^6$ y $n^6+1$ son tres enteros consecutivos, luego habrá uno de ellos múltiplo de $2$ y también habrá uno múltiplo de $3$. Por otro lado, si $n$ es múltiplo de $5$, el número también será múltiplo de $5$ puesto que tiene un factor $n$. Si $n$ no es múltiplo de $5$, entonces $n^2$ es congruente con $1$ o $4$ módulo $5$, luego $n^6=(n^2)^3$ congruente con $1^3=1$ (en cuyo caso $n^6-1$ es múltiplo de $5$) o con $4^3=64\equiv 4$ (en cuyo caso $n^6+1$ es múltiplo de $5$).

En todos los casos, hemos probado que $n^{19}-n^7$ es múltiplo de $2$, de $3$ y de $5$, luego es múltiplo de $30$.

Nota. El polinomio original se puede seguir factorizando, aunque no aporta nada esencial a la discusión. Una factorización completa sobre los enteros es: \[n^{19}-n^7=n^7(n-1)(n+1)(n^2+1)(n^2-n+1)(n^2+n+1)(n^4-n^2+1)\]

Solución. Probando con los sumandos más grandes posibles (para intentar minimizar el número de sumandos), llegamos a la siguiente descomposición: \[2009=1111+777+99+22.\] Si ahora trabajamos módulo $11$, observamos que los sumandos de dos y cuatro cifras son congruentes con $0$, mientras que los sumandos de tres cifras son congruentes con la cifra. Como $2009\equiv 7\ (\text{mod }11)$, las cifras de los números de tres cifras que usemos tienen que sumar $7$ o $18$ (si sumaran $25$ o más, nos pasaríamos ya que $25\cdot 111\gt 2009$). Si suman $18$, entonces tendríamos $18\cdot 111=1998$, que nos dejaría $9$ unidades de margen y no pueden obtenerse con otros sumandos puesto que no está permitido usar sumandos de una cifra. Tenemos así que $777$ tiene que ser el único sumando de tres cifras en cualquier descomposición que hagamos de $2009$ con el menor número de sumandos (ya que podríamos descomponer, por ejemplo, $777=444+333$). También tiene que ser necesariamente $1111$ otro sumando ya que no podemos obtener $2009-777=1232$ si sumamos solamente números de dos cifras distintos (tenemos que $11+22+\ldots+99=495\lt 1232$). Teniendo ahora en cuenta que $2009-777-1111=121$ tiene que expresarse como suma de (dos) números de dos cifras, obtenemos fácilmente las únicas cuatro descomposiciones que usan cuatro sumandos: \begin{align*} 2009&=1111+777+99+22,&2009&=1111+777+88+33,\\ 2009&=1111+777+77+44,&2009&=1111+777+66+55. \end{align*} Cualquier otra descomposición se obtiene reordenando sumandos o bien tienen al menos cinco sumandos.

Solución. Estas tres desigualdades se pueden reescribir como \begin{align*} \angle ACB\leq \angle APB\leq 2\angle ACB,\\ \angle BAC\leq \angle BPC\leq 2\angle BAC,\\ \angle CBA\leq \angle CPA\leq 2\angle CBA. \end{align*} Sumando y usando que $\angle ACB+\angle BAC+\angle CBA=180^\circ$ (los ángulos del triángulo $ABC$ suman $180^\circ$, tenemos que \[180^\circ\leq \angle APB+\angle BPC+\angle CPA\leq 360^\circ.\] Sin embargo, se tiene que $\angle APB+\angle BPC+\angle CPA=360^\circ$ ya que estos tres ángulos forman un ángulo completo. Tenemos así que deben darse las siguientes tres igualdades: \[\angle APB=2\angle ACB,\qquad\angle BPC=2\angle BAC,\qquad\angle CPA=2\angle CBA.\] Estas igualdades se cumplen si $P$ coincide con $O$, el circuncentro de $ABC$ por la propiedad del ángulo central en la circunferencia circunscrita a $ABC$. Por la propiedad del arco capaz, la igualdad $\angle APB=\angle AOP$ nos dice que $P$ tiene que estar en la circunferencia circunscrita de $ABO$ y análogamente, tiene que estar en las circunferencias circunscritas de $BCO$ y $CAO$. Como estas tres circunferencias solo se cortan en $O$, necesariamente ha de ser $P=O$. Hemos probado así que el circuncentro es el único punto que cumple las condiciones del enunciado (observemos que el circuncentro es interior al triángulo puesto que es acutángulo).