Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Si llamamos $y=\frac{6-x}{x+1}$, podemos despejar \[y=\frac{6-x}{x+1}\ \Longleftrightarrow \ xy=6-(x+y).\] Además, la ecuación inicial se escribe como $xy(x+y)=8$, por lo que si llamamos $s$ y $p$ a la suma y producto de las dos incógnitas, tenemos que $p=6-s$ y $sp=8$. Sustituyendo la primera en la segunda ecuación llegamos a que $s(6-s)=8$ o equivalentemente $s^2-6s+8=0$, que tiene soluciones $s=2$ y $s=4$. Distinguimos los dos casos:

• Si $s=2$, entonces $p=6-s=4$. Tenemos así que $x+y=2$ y $xy=4$, luego $x$ e $y$ son las soluciones de la ecuación $t^2-2t+4=0$. Esta ecuación no tiene raíces reales.
• Si $s=4$, entonces $p=6-s=2$, luego $x+y=4$ y $xy=2$. Por tanto, $x$ e $y$ son las soluciones de la ecuación $t^2-4t+2=0$. Esto nos da dos posibles valores de $x$, que son $x=2\pm\sqrt{2}$ y se comprueba fácilmente que cumplen la ecuación inicial.

Hemos demostrado que las únicas soluciones son $x=2+\sqrt{2}$ y $x=2-\sqrt{2}$.

Nota. Si procedemos directamente simplificando la ecuación inicial, llegamos a la ecuación $x^4-4 x^3-26 x^2+20 x-8=0$. Esta se puede factorizar sobre los enteros como producto de dos polinomios de segundo grado $(x^2-4 x+2)(x^2-2 x+4)=0$, de donde también se deduce la solución.

Solución. Llamamos $ABCD$ al cuadrilátero y $P$ al punto de intersección de sus diagonales. Supondremos que las diagonales no son perpendiculares para que las proyecciones $A',B',C',D'$ definan un cuadrilátero, luego además se cumple que $P$ se queda entre $A'$ y $C'$ en la diagonal $AC$ y también entre $B'$ y $D'$ en la diagonal $BD$. Esto demuestra que el cuadrilátero $A'B'C'D'$ es convexo y tiene las mismas rectas diagonales que $ABCD$.

Los triángulos $AA'P$ y $BB'P$ son semejantes porque son rectángulos y tienen un ángulo común en el vértice $P$, luego se cumple que \[\frac{AP}{BP}=\frac{A'P}{B'P},\] lo que también nos dice que $ABP$ y $A'B'P$ son semejantes. De forma similar se prueba que $BCP$ y $B'C'P$ son semejantes, que $CDP$ y $C'D'P$ son semejantes y que $DAP$ y $D'A'P$ son semejantes. La razón de semejanza es la misma para los cuatro pares de triángulos ya que se tiene que $\frac{AP}{A'P}=\frac{BP}{B'P}=\frac{CP}{C'P}=\frac{DP}{D'P}$, luego el cuadrilátero $A'B'C'D'$ es semejante a $ABCD$ ya que está formado por cuatro triángulos semejantes en disposición similar. Más aún, $A'B'C'D'$ se obtiene de $ABCD$ a partir de una reflexión respecto de una de las bisectrices de las diagonales y una homotecia.

Solución. Supondremos que $P$ contiene al menos cuatro puntos, que no pueden estar alineados ya que por ellos pasa una circunferencia. Elegimos tres puntos distintos $p_1,p_2,p_3\in P$ y tomamos la única circunferencia $\Gamma$ que pasa por ellos. Dado $p\in P$ distinto de $p_1,p_2,p_3$, el enunciado nos dice que hay una circunferencia que pasa por $p_1,p_2,p_3$ y $p$, luego no puede ser otra que $\Gamma$ ya que por $p_1,p_2,p_3$ pasa una única circunferencia. Deducimos así que $\Gamma$ contiene a todos los puntos de $P$ y la respuesta es afirmativa.

Nota. En realidad, es necesario que el enunciado diga que $P$ tiene al menos cuatro puntos o que los puntos de $P$ no están alineados. Por ejemplo, un conjunto $P$ formado por tres puntos alineados cumple la condición pero no todos los puntos de $P$ están en una circunferencia.

Solución. Vamos a suponer que los puntos de la circunferencia están dispuestos consecutivamente en el orden $A,C,D,B$, como se ve en la figura, de forma que $E$ es exterior y $F$ es interior al semicírculo.

Es muy fácil darse cuenta de la recta $EF$ ha de ser perpendicular a $AB$: dado que los ángulos $\angle ACB$ y $\angle ADB$ son rectos por comprender al diámetro $AB$ en la semicircunferencia, se tiene que $AD$ y $BC$ son alturas del triángulo $AEB$, luego $F$ es su ortocentro y $EF$ es la tercera altura, que debe ser perpendicular al lado $AB$. Tenemos así que la dirección del segmento $EF$ no varía.

Veamos ahora que su longitud tampoco varía. Por la propiedad del arco capaz, el ángulo $\alpha=\angle CAD=\angle CBD$ sólo depende de $c$, no de la posición concreta de la cuerda $CD$. Como los ángulos $\angle ACB$ y $\angle ADB$ son rectos por comprender al diámetro $AB$ en la semicircunferencia, deducimos que $\angle AEB=90-\alpha$. Además, como la suma de los ángulos del cuadrilátero $ECFD$ es $360$, tenemos también que $\angle AFB=\angle CFD=90+\alpha$. Todo ello nos dice que los puntos $E$ y $F$ se mueven en sendos arcos de circunferencia con extremos $A$ y $B$ (al variar la cuerda $CD$ sin modificar su longitud), como puede verse en la figura. Además, como los ángulos con los que $E$ y $F$ ven al segmento $AB$ son $90-\alpha$ y $90+\alpha$, que suman $180$, estas circunferencias son simétricas respecto de $AB$. En particular, tienen el mismo radio y, al pasar por $A$ y $B$, tiene que ser una trasladada de la otra en la dirección perpendicular a $AB$. De esta forma, la longitud del segmento $EF$ es la del vector de traslación, o sea, constante.

Solución. Pongamos que $n$ es suma de $k$ números consecutivos. Si llamamos $a\geq 1$ al menor de ellos, usando la conocida fórmula para la suma de los $k-1$ primeros naturales, tenemos que \begin{align*} n=a+(a+1)+\ldots+(a+k-1)&=ka+1+2+\ldots+(k-1)\\ &=ka+\frac{k(k-1)}{2}=k\left(a+\frac{k-1}{2}\right). \end{align*} Esto se puede expresar equivalentemente como \[2n=k(2a+k-1).\] Por tanto, $k$ y $2a+k-1$ deben ser divisores complementarios de $2n$ y además se cumple $2a+k-1\gt k$ ya que $a\geq 1$. Para cada divisor $d$ de $2n$ tal que $1\lt d\lt\sqrt{2n}$, tenemos una posible solución $k=d$ y $2a+k-1=\frac{2n}{d}$, o equivalentemente $2a=\frac{2n}{d}-d+1$. Esto nos da un valor de $a$ positivo, pero podría no ser entero. Si $d$ es impar, entonces $\frac{2n}{d}-d+1$ es par, luego no hay problema. Si $d$ es par, entonces $\frac{2n}{d}-d+1$ es par si y solo si $\frac{2n}{d}$ es impar, es decir, si $d$ es múltiplo de la mayor potencia de $2$ que divide a $n$. En otras palabras, si $\frac{2n}{d}$ es un divisor impar de $n$ (en este caso, la condición $1\lt d\lt\sqrt{2n}$ nos dice que $\sqrt{2n}\lt \frac{2n}{d}\lt 2n$).

Lo anterior se resume diciendo que tenemos una suma de enteros consecutivos igual a $n$ por cada divisor impar de $2n$ distinto del $1$ (aunque $2n$ fuera un cuadrado perfecto, $\sqrt{2n}$ no sería nunca un divisor impar, luego no daría problemas). Si descomponemos en factores primos \[n=2^ap_1^{e_1}p_2^{e_2}\cdots p_r^{e_r},\] con $p_1,\ldots,p_r$ primos impares distintos, entonces $2n$ tiene exactamente $(e_1+1)(e_2+1)\cdots(e_r+1)-1$ divisores impares distintos de $1$ (restamos $1$ por esto último). Por tanto, la condición que estamos buscando es que los exponentes de los primos impares verifiquen \[(e_1+1)(e_2+1)\cdots(e_r+1)=2008.\] Como $2008=2^3\cdot 251$ y $251$ es primo, tenemos pocas posibilidades para el menor número que verifica la condición del enunciado (ponemos los exponentes más grandes a los primos más pequeños):

• Si $r=1$ y $e_1=2007$, entonces tenemos $n=3^{2007}$.
• Si $r=2$ y $(e_1,e_2)=(1003,1)$, entonces $n=3^{1003}\cdot 5$.
• Si $r=2$ y $(e_1,e_2)=(501,3)$, entonces $n=3^{501}\cdot 5^3$.
• Si $r=2$ y $(e_1,e_2)=(250,7)$, entonces $n=3^{250}\cdot 5^7$.
• Si $r=3$ y $(e_1,e_2,e_3)=(501,1,1)$, entonces $n=3^{501}\cdot 5\cdot 7$.
• Si $r=3$ y $(e_1,e_2,e_3)=(250,3,1)$, entonces $n=3^{250}\cdot 5^3\cdot 7$.
• Si $r=4$ y $(e_1,e_2,e_3,e_4)=(250,1,1,1)$, entonces $n=3^{250}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$.

De todos estos números, el menor es $n=3^{250}\cdot 5\cdot 7\cdot 11$.