Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

En un triángulo $ABC$, sean $A’$ el pie de la altura relativa al vértice $A$ y $H$ el ortocentro.

1. Dado un número real positivo $k$ tal que $\frac{AA'}{HA'}=k$, encontrar la relación entre los ángulos $B$ y $C$ en función de $k$.
2. Si $B$ y $C$ son fijos, hallar el lugar geométrico del vértice $A$ para cada valor de $k$.

Determinar la función $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ (siendo $\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots\}$ el conjunto de los números naturales) que cumple, para cualesquiera $s,n\in\mathbb{N}$, las siguientes condiciones:

• $f(1)=f(2^s)=1$,
• si $n\lt 2^s$, entonces $f(2^s+n)=f(n)+1$.

Calcular el valor máximo de $f(n)$ cuando $n\leq 2001$. Hallar el menor número natural $n$ tal que $f(n)=2001$.

Se tienen cinco segmentos de longitudes $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ tales que con tres cualesquiera de ellos es posible construir un triángulo. Demostrar que al menos uno de esos triángulos tiene todos sus ángulos agudos.

Demostrar que no existe ninguna función $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ que cumpla $f(f(n))=n+1$ para todo $n\in\mathbb{N}$.

Dos circunferencias secantes $C_1$ y $C_2$ de radios $r_1$ y $r_2$ se cortan en los puntos $A$ y $B$. Por $B$ se traza una recta variable que corta de nuevo a $C_1$ y $C_2$ en dos puntos que llamaremos $P_r$ y $Q_r$, respectivamente. Demostrar que existe un punto $M$ que depende solo de $C_1$ y $C_2$ tal que la mediatriz del segmento $P_rQ_r$ pasa por $M$.