Olimpiadas de Matemáticas
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Problema 804
La figura muestra un plano con calles que delimitan 12 manzanas cuadradas. Una persona $P$ va desde $A$ hasta $B$ y otra $Q$ desde $B$ hasta $A$. Ambas parten a la vez siguiendo caminos de longitud mínima con la misma velocidad constante. En cada punto con dos posibles direcciones a tomar, ambas tienen la misma probabilidad. Halla la probabilidad de que $P$ y $Q$ se crucen.
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Problema 803
Probar que existe una sucesión de enteros positivos $\{a_1,a_2,\ldots,a_n,\ldots\}$ tal que
\[a_1^2+a_2^2+\ldots+a_n^2\]
es un cuadrado perfecto para todo entero positivo $n$.
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Problema 802
Las rectas $r$ y $s$ son tangentes a la parábola de ecuación $y=x^2$ en los puntos $A$ y $B$ y se cortan en un punto $C$. La mediana del triángulo $ABC$ correspondiente al vértice $C$ tiene longitud $m$. Determinar el área del triángulo $ABC$ en función de $m$.
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Problema 801
Determina los valores de $n$ para los que es posible construir un cuadrado $n\times n$ ensamblando tetrominós como el de la figura (formado por cuatro cuadraditos $1\times 1$).
pistasolución 1info
Pista. Colorea el cuadrado como un tablero de ajedrez.
Solución. Lo primero que observamos es que si $n$ es impar, entonces el tablero tiene un número impar de casillas y no se puede rellenar con un número entero de fichas, cada una de las cuales ocupa cuatro casillas. Por tanto, supondremos que es par en lo que sigue. Distingamos dos casos:
- Si $n=4k$, entonces el cuadrado se puede construir. Para ello, basta descomponerlo en cuadrados $4\times 4$ (mediante rectas paralelas a los lados del cuadrado y rellenar cada uno de ellos con cuatro tetrominós como se indica en la figura de la izquierda.
- Si $n=4k+2$, vamos a probar que el cuadrado no se puede construir. Para ello, coloreamos el cuadrado como un tablero de ajedrez, alternando colores blanco y negro en casillas adyacentes. Cada tetrominó ocupa o bien tres casillas blancas y una negra o bien tres negras y una blanca (como los que se indican en la figura de la derecha). Llamamos $a$ al número de tetrominós del primer tipo y $b$ al del segundo tipo en un supuesto ensamblado. Como hay el mismo número de casillas blancas que negras ($n$ es par), se sigue que $a+b$ es par, luego $n^2=4(a+b)$ es múltiplo de $8$. Esto no es posible si $n=4k+2$, luego el ensamblado es imposible.
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Problema 800
Hallar las tangentes de los ángulos de un triángulo sabiendo que son números enteros positivos.
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