Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Un cuadrado $ABCD$ de lado $1$ gira un ángulo $\alpha$ en torno a su centro $O$. Hallar el área común a ambos cuadrados.

Un coche tiene que dar una vuelta a un circuito circular. En el circuito hay $n$ depósitos con cierta cantidad de gasolina. Entre todos los depósitos contienen la cantidad exacta que el coche necesita para dar una vuelta. El coche comienza con el depósito vacío. Demostrar que con independencia del número, posición y cantidad de combustible de cada depósito, siempre se puede elegir un punto de comienzo que le permita completar la vuelta.

Nota. El consumo es uniforme y proporcional a la distancia recorrida. El tamaño del depósito es suficiente para albergar toda la gasolina necesaria para dar una vuelta.

Demostrar que en un cuadrilátero convexo de área unidad, la suma de las longitudes de todos los lados y diagonales no es menor que $2(2+\sqrt{2})$.

Consideremos las parábolas $y = x^2 + px + q$ que cortan a los ejes de coordenadas en tres puntos distintos. Demostrar que las circunferencias que pasan por estos tres puntos pasan por un punto fijo al variar $p,q\in\mathbb{R}$. Determinar dicho punto.

Un cuadrado de lado $5$ se divide en $25$ cuadrados unidad por rectas paralelas a los lados. Sea $A$ el conjunto de los $16$ puntos interiores que son vértices de los cuadrados unidad pero que no están en los lados del cuadrado inicial. ¿Cuál es el mayor número de puntos de $A$ que es posible elegir de manera que tres cualesquiera de ellos no sean vértices de un triángulo rectángulo isósceles?