Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

En un triángulo escaleno $ABC$ se traza la bisectriz interior $BD$, con $D$ sobre $AC$. Sean $E$ y $F$, respectivamente, los pies de las perpendiculares trazadas desde $A$ y $C$ hacia la recta $BD$ y $M$ el punto sobre el lado $BC$ tal que $DM$ es perpendicular a $BC$. Demostrar que $\angle EMD=\angle DMF$.

Un punto $P$ interior al triángulo equilátero $ABC$ es tal que $\angle APC=120^\circ$. Sean $M$ la intersección de $CP$ con $AB$ y $N$ la intersección de $CP$ con $BC$. Hallar el lugar geométrico del circuncentro del triángulo $MBN$ al variar $P$.

Demostrar que es imposible cubrir un cuadrado de lado $1$ con cinco cuadrados iguales de lado menor que $\frac{1}{2}$.

Determinar el número máximo de progresiones aritméticas crecientes de tres términos que puede tener una sucesión creciente $a_1\lt a_2\lt\ldots \lt a_n$ de $n\gt 3$ números reales.

Sea $S$ un conjunto de $n$ elementos y sean $S_1,S_2,\ldots,S_k$ subconjuntos de $S$ ($k\geq 2$) tales que cada uno de ellos tiene por lo menos $r$ elementos. Demostrar que existen $i$ y $j$, con $1\leq i \lt j \leq k$ tales que la cantidad de elementos comunes de $S_i$ y $S_j$ es mayor o igual que \[r−\frac{nk}{4(k-1)}.\]