Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

La circunferencia inscrita en el triángulo $ABC$ tiene centro $O$ y es tangente a los lados $BC$, $AC$ y $AB$ en los puntos $X$, $Y$ y $Z$, respectivamente. Las rectas $BO$ y $CO$ cortan a la recta $YZ$ en los puntos $P$ y $Q$, respectivamente. Si los segmentos $XP$ y $XQ$ tienen la misma longitud, demostrar que el triángulo $ABC$ es isósceles.

Decimos que un número natural $n$ es charrúa si satisface simultáneamente las siguientes condiciones:

• Todos los dígitos de $n$ son mayores que $1$.
• Siempre que se multipliquen cuatro dígitos de $n$ se obtiene un divisor de $n$.

Demostrar que para cada número natural $k$ existe un número charrúa con más de $k$ dígitos.

Un hexágono convexo se denomina bonito si tiene cuatro diagonales de longitud $1$ cuyos extremos incluyen todos los vértices del hexágono.

1. Dado cualquier número $k$ mayor que $0$ y menor que $1$, encontrar un hexágono bonito de área $k$.
2. Demostrar que el área de cualquier hexágono bonito es menor que $\frac{3}{2}$.

De una progresión aritmética infinita $\{1,a_1,a_2,\ldots\}$ de números reales se eliminan términos, obteniéndose una progresión geométrica infinita $\{1,b_1,b_2,\ldots\}$ de razón $q$. Encontrar los posibles valores de $q$.

Encontrar todas las soluciones de la ecuación \[(x+1)^y−x^z=1\] para $x,y,z$ enteros mayores que $1$.