Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Sean $S_1$ y $S_2$ dos circunferencias de centros $O_1$ y $O_2$, respectivamente, secantes en $M$ y $N$. La recta $t$ es la tangente común a $S_1$ y $S_2$ más cercana a $M$. Los puntos $A$ y $B$ son los respectivos puntos de contacto de $t$ con $S_1$ y $S_2$, $C$ es el punto diametralmente opuesto a $B$ y $D$ el punto de intersección de la recta $O_1O_2$ con la recta perpendicular a la recta $AM$ trazada por $B$. Demostrar que $M,D,C$ están alineados.

Sean $A$ y $B$ puntos del plano y $C$ un punto de la mediatriz de $AB$. Se construye una sucesión de puntos $\{C_1,C_2,\ldots,C_n,\ldots\}$ como $C_1 = C$ y, para $n\geq 1$, si $C_n$ no pertenece al segmento $AB$, $C_{n+1}$ es el circuncentro del triángulo $ABC_n$. Determinar todos los puntos $C$ tales que la sucesión está definida para todo $n$ y es periódica a partir de un cierto punto.

Sean $n$ puntos distintos $P_1, P_2,\ldots, P_n$ sobre una recta del plano ($n\geq 2$). Se consideran las circunferencias de diámetro $P_iP_j$, con $1\leq i \lt j \leq n$ y coloreamos cada una de ellas con uno de $k$ colores dados. Llamamos $(n,k)$-nube a esta configuración.

Para cada entero positivo $k$, determinar todos los $n$ para los cuales se cumple que toda $(n,k)$-nube contiene dos circunferencias tangentes exteriormente del mismo color.

Nota: Para evitar ambigüedades, los puntos que pertenecen a más de una circunferencia no llevan color.

Dadas dos circunferencias $M$ y $N$, decimos que $M$ biseca a $N$ si la cuerda común es un diámetro de $N$. Considérense dos circunferencias fijas $C_1$ y $C_2$ no concéntricas.

1. Probar que existen infinitas circunferencias $B$ tales que $B$ biseca tanto a $C_1$ como a $C_2$
2. Determinar el lugar geométrico de los centros de las circunferencias $B$.

Sea $\lambda$ la raíz positiva de la ecuación $t^2-1998t-1=0$. Se define la sucesión $\{x_0,x_1,x_2,\ldots,xn,\ldots\}$ como \[x_0=1,\qquad x_{n+1}=\lfloor \lambda x_n\rfloor, \text{para todo }n\geq 0.\] Hallar el resto de la división de $x_{1998}$ por $1998$.

Nota: $\lfloor x\rfloor$ indica la parte entera de un número real $x$.