Olimpiadas de Matemáticas
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Problema 709
OIM, 1995-P6
Diremos que una función $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ es circular si para cada $p\in\mathbb{N}$ existe $n\in\mathbb{N}$ tal que $n\leq p$ y $f^n(p)=p$. Diremos que $f$ tiene grado de repulsión $k$, $0\lt k\lt 1$, si para cada $p\in\mathbb{N}$, se tiene que $f^i(p)\neq p$ para todo $i\leq\lfloor kp\rfloor$. Determinar el mayor grado de repulsión que puede tener una función circular.
Nota. Se define $f^k(p)$ como aplicar $k$ veces $f$ a $p$, es decir, $f^1(p)=f(p)$ y $f^k(p)=f(f^{k-1}(p))$ para $k\geq 2$. Por otro lado, $\lfloor x\rfloor$ representa la parte entera de un número real $x$.
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Problema 708
OIM, 1995-P5
La circunferencia inscrita en el triángulo $ABC$ es tangente a $BC$, $CA$ y $AB$ en $D$, $E$ y $F$, respectivamente. Supongamos que dicha circunferencia corta de nuevo a $AD$ en su punto medio $X$, es decir, $AX = XD$. Las rectas $XB$ y $XC$ cortan de nuevo a la circunferencia inscrita en $Y$ y $Z$, respectivamente. Demostrar que $EY =FZ$.
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Problema 707
OIM, 1995-P4
En un tablero de $m\times m$ casillas se colocan fichas. Decimos que cada ficha colocada en el tablero domina todas las casillas de su fila $\leftrightarrow$, columna $\updownarrow$ y diagonal $\nwarrow\searrow$ a la que pertence, pero no de la diagonal $\swarrow\nearrow$. Determinar el menor número de fichas que deben colocarse para que queden dominadas todas las casillas del tablero.
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Problema 706
OIM, 1995-P3
Sean $r$ y $s$ dos rectas ortogonales que no están en el mismo plano. Sea $AB$ su perpendicular común, donde $A$ pertenece a $r$ y $B$ pertenece a $s$. Se considera la esfera de diámetro $AB$. Los puntos $M$ y $N$ de las rectas $r$ y $s$ son variables, con la condición de que $MN$ sea tangente a la esfera en un punto $T$. Determinar el lugar geométrico de $T$.
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Problema 705
OME Local, 2004-P12
Hallar las cuatro últimas cifras de $3^{2004}$.
pistasolución 1info
Pista. Escribe $3^{2004}=(10-1)^{1002}$ y desarrolla por el binomio de Newton. Alternativamente, demuestra que $3^{500}\equiv 1\ (\text{mod}10000)$.
Solución. Tenemos que $3^{2004}=9^{1002}=(10-1)^{1002}$. Por lo tanto, podemos desarrollar por el binomio de Newton
\[3^{2004}=1-\binom{1002}{1}\cdot 10+\binom{1002}{2}\cdot 10^2-\binom{1002}{3}\cdot 10^3+\ldots\]
Todos los términos a partir de los puntos suspensivos van multiplicados por una potencia de $10$ de exponente mayor que $3$, luego no afecta a las cuatro últimas cifras. Ahora bien, tenemos que
\begin{align*}
\binom{1002}{1}&=1002,\quad \binom{1002}{2}=\frac{1002\cdot 1001}{2}=501\cdot 1001,\\
\binom{1002}{3}&=\frac{1002\cdot 1001\cdot 1000}{6}=167\cdot 1001\cdot 1000. \end{align*}
Si hacemos estos productos fijándonos solo en las últimas cifras, tenemos que las dos últimas cifras de $\binom{1002}{2}$ son $01$ y la última de $\binom{1002}{3}$ es $0$, con lo que las cuatro últimas cifras de $3^{2004}$ son las mismas que las de $1-20+100-0=81$, es decir, la respuesta es $0081$.
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