Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Observamos en primer lugar que, para cualquier entero positivo $k$, se tiene que $\frac{k+2}{k(k+1)(k+3)(k+4)}=\frac{1}{6k(k+1)}-\frac{1}{6(k+3)(k+4)}$ (ver la nota más abajo). Por lo tanto, podemos expresar \begin{align*} \frac{3}{1\cdot 2\cdot 4\cdot 5}&=\frac{1}{6\cdot 1\cdot 2}-\frac{1}{6\cdot 4\cdot 5},\\ \frac{4}{2\cdot 3\cdot 5\cdot 6}&=\frac{1}{6\cdot 2\cdot 3}-\frac{1}{6\cdot 5\cdot 6},\\ \frac{5}{3\cdot 4\cdot 6\cdot 7}&=\frac{1}{6\cdot 3\cdot 4}-\frac{1}{6\cdot 6\cdot 7},\\ &\vdots\\ \frac{n+2}{n(n+1)(n+3)(n+4)}&=\frac{1}{6n(n+1)}-\frac{1}{6(n+3)(n+4)} \end{align*} Si sumamos todas estas igualdades, en el miembro de la derecha se simplifican casi todos los sumandos menos los tres primeros y los tres últimos. Con lo cual la suma del enunciado es igual a \[S=\frac{1}{6\cdot 1\cdot 2}+\frac{1}{6\cdot 2\cdot 3}+\frac{1}{6\cdot 3\cdot 4}-\frac{1}{6(n+1)(n+2)}-\frac{1}{6(n+2)(n+3)}-\frac{1}{6(n+3)(n+4)}\] Si hacemos todas las operaciones, esta suma puede simplificarse como \[S=\frac{n(n+5)}{8(n+1)(n+4)}.\]

Nota. Se trata de una suma telescópica en la que cada sumando se escribe como diferencia de dos términos, de forma que al sumar estos términos se cancelan casi todos. Una forma de hacer esto (que funciona con cualquier suma cuyo término general es racional y cuyo denominador tiene raíces enteras simples) es escribir \[\frac{n+2}{n(n+1)(n+3)(n+4)}=\frac{A}{n}+\frac{B}{n+1}+\frac{C}{n+3}+\frac{D}{n+4}\] y resolver las variables $A,B,C,D\in\mathbb{R}$ para que la igualdad sea cierta para todo $n$. En este caso, se tiene que $A=-B=C=-D=\frac{1}{6}$ y pueden agruparse los sumandos por parejas (aunque no es necesario hacerlo así en general). Al sumar en la igualdad anterior, salvo el factor $\frac{1}{6}$, se suman y restan inversos de enteros. Cancelándolos convenientemente se obtiene el resultado de arriba.

Solución. Supongamos que $n\equiv 2\ (\text{mod }3)$ y $d$ es un divisor suyo. Como $d$ no puede ser múltiplo de $3$ (en tal caso, $n$ también lo sería), llegamos a que $d\equiv 1\ (\text{mod }3)$ o bien $d\equiv 2\ (\text{mod }3)$. Su divisor complementario $\frac{n}{d}$ tiene que cumplir $\frac{n}{d}\equiv 2\ (\text{mod }3)$ o bien $\frac{n}{d}\equiv 1\ (\text{mod }3)$, respectivamente, para que $d\cdot\frac{n}{d}=n\equiv 2\ (\text{mod }3)$. Por tanto, tenemos que $d+\frac{n}{2}\equiv 1+2\equiv 0\ (\text{mod }3)$.

De esta manera, en la suma de divisores, tras agrupar cada divisor con su complementario, tendremos una suma de múltiplos de $3$ y hemos resuelto el problema. Sin embargo, queda por ver que todos los divisores están emparejados, lo cual es cierto a no ser que $n$ sea un cuadrado perfecto (en cuyo caso $d=\sqrt{n}$ coincide con su complementario $\frac{n}{d}=\sqrt{n}$). Como todo cuadrado es congruente con $0$ o $1$ módulo $3$, este caso no se da nunca.

Solución. Pongamos que el polígono tiene $n$ lados y escribamos sus ángulos internos como $a,a+d,\ldots,a+(n-1)d$, siendo $d$ la diferencia de la progresión aritmética. Como la suma de los ángulos internos de un $n$-gono es $180(n-2)$ (ya que se puede triangularse en $n-2$ triángulos), deducimos que \[180(n-2)=a+(a+d)+\ldots+(a+(n-1)d)=na+\frac{n(n-1)}{2}d.\] Por tanto, tenemos que resolver la ecuación diofántica \[360(n-2)=2na+n(n-1)d\ \Leftrightarrow\ (360-2a-(n-1)d)n=720.\] Esto acota los valores de $n$ a los divisores de $720$ (mayores o iguales que $3$). Además, para que el polígono sea convexo, sus ángulos tienen que ser menores que $180$, lo que nos dice que el mayor ha de serlo, es decir, $a\lt 180-(n+1)d$. Sustituyendo en la ecuación diofántica, la convexidad se traduce en que $720=(360-2a-(n-1)d)n\gt n(n-1)d\geq n(n-1)$, donde hemos usado que $d\geq 1$ porque nos dicen que no todos los ángulos son iguales. Esto último se traduce en que $3\leq n\leq 27$.

La idea ahora es que, para cada divisor $3\leq n\leq 27$, estudiaremos si existe un par de enteros positivos $(a,d)$ verificando la ecuación diofántica lineal $2a+(n-1)d=360+\frac{720}{n}$. Distinguimos dos casos:

• Si $n=2k$ es par, entonces $\mathrm{mcd}(2,n-1)=1$, luego la ecuación tiene soluciones enteras (no sabemos aún si positivas). De hecho, podemos expresar $1=2k-(2k-1)$, luego tenemos una solución particular de la ecuación dada por $a_0=k(360+\frac{720}{n})=180n+360$ y $d_0=-360-\frac{720}{n}$. Todas las soluciones serán, en términos de un parámetro entero $j$, \[a=180n+360-(n-1)j,\qquad d=-360-\frac{720}{n}+2j.\] Para que ambos sean positivos, tendremos que $180n+360-(n-1)j\gt 0$ y $-360-\frac{720}{n}+2j\gt 0$, lo que nos da la acotación \[180\frac{n+2}{n}\lt j\lt 180\frac{n+2}{n-1},\] que también se puede escribir como \[180+\frac{360}{n}\lt j\lt 180+\frac{540}{n-1}.\] Una condición suficiente para que haya una solución entera $j$ es si aseguramos que $\frac{540}{n-1}\gt\frac{360}{n}+1$, que equivale a $360 + 181 n - n^2\geq 0$. Esta última desigualdad se cumple siempre para $3\leq n\leq 27$.