Olimpiadas de Matemáticas
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Problema 1089
Consideramos $2020$ números reales $a_1,a_2,\ldots,a_{2020}$ tales que la suma de $1009$ de ellos cualesquiera es positiva. Demostrar que la suma de los $2020$ números también es positiva.
pistasolución 1info
Pista. Suma muchas sumas de $1009$ números cuyo resultado sea un múltiplo de la suma de los $2020$ números.
Solución. Para cada $k$, consideramos $S_k=a_k+a_{k+1}+\ldots+a_{k+1008}$, donde los subíndices los consideramos cíclicamente módulo $2020$ (es decir, $a_{2020+i}=a_{i}$ para todo $i$). Dado que entre todas las sumas $S_1,S_2,\ldots, S_{2020}$ aparece $1009$ veces cada término $a_i$, tenemos que la suma $S$ de los 2020 elementos verifica
\[1009S=S_1+S_2+\ldots+S_{2020}\gt 0\]
y de aquí se deduce que $S\gt 0$.
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Problema 1088
Dado un número natural $n\geq 2$, realizamos la siguiente operación: si $n$ es par, lo dividimos entre dos; si $n$ es impar, le sumamos $5$. Si el número obtenido tras esta operación es $1$, paramos el proceso; en caso contrario, volvemos a aplicar la misma operación, y así sucesivamente. Determinar todos los valores de $n$ para los cuales este proceso es finito, es decir, se llega a $1$ en algún momento.
pistasolución 1info
Pista. ¿Qué les pasa a los múltiplos de $5$?
Solución. Podemos suponer que el número inicial es impar, porque de no serlo se transforma en un impar tras sucesivas divisiones entre 2. Nos fijamos en que si $n$ es múltiplo de $5$, entonces al aplicar la operación el número de veces que queramos siempre obtendremos un múltiplo de $5$, luego no se puede llegar a $1$.
Si $n$ no es múltiplo de $5$, entonces nunca se obtiene un múltiplo de $5$ en el proceso. Para $n=3$, tenemos $3\mapsto 8\mapsto 4\mapsto 2\mapsto 1$ y, para $n\geq 7$, al ser $n$ impar, los primeros pasos serán $n\mapsto n+5\mapsto\ldots\mapsto \frac{n+5}{2^k}$ siendo $\frac{n+5}{2^k}$ impar. Como $\frac{n+5}{2^k}\lt n$ por ser $n\geq 7$ y $k\geq 1$, reducimos el problema al de un impar más pequeño. Deducimos así que el proceso siempre termina para cualquier $n$ que no es múltiplo de $5$.
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Problema 1087
En el triángulo escaleno $ABC$, la bisectriz del ángulo $A$ corta al lado $BC$ en el punto $D$. Las rectas que pasan por $D$ y son tangentes a las circunferencias circunscritas de los triángulos $ABD$ y $ACD$ cortan a las rectas $AC$ y $AB$ en los puntos $E$ y $F$, respectivamente. Si $BE$ y $CF$ se cortan en $G$, demostrar que $\angle EDG=\angle ADF$.
Sin pistas
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Problema 1086
Dado un par de números reales $(x,y)$ tales que $0\leq x\leq y\leq 1$, sea
\[M(x,y)=\max\{xy,1-x-y+xy,x+y-2xy\}.\]
Hallar el mínimo valor que puede tomar $M(x,y)$ para todos estos pares $(x,y)$.
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Problema 1085
Calcular todos los pares de enteros $(x,y)$ tales que
\[3^42^3(x^2+y^2)=x^3y^3.\]
Sin pistas
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