Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Como tenemos que $[\frac{3}{2}]=1$ y $\{\frac{3}{2}\}=\frac{1}{2}$, estamos buscando el conjunto de números reales tales que \[([x]-1)^2+(\{x\}-0.5)^2\lt \frac{202^2}{100^2}=4.0804.\] La parte entera de un número $x$ que cumpla esta desigualdad puede ser $-1$, $0$, $1$, $2$ o $3$ ya que , en caso de ser otro número, el sumando $([x]-1)^2$ sería mayor o igual que $49. Distingamos casos:

• Si $[x]=-1$, entonces la desigualdad nos queda $(\{x\}-0.5)^2\lt 0.0804$ o bien $|\{x\}-0.5|\lt \sqrt{0.0804}$. Esto nos da el intervalo de soluciones $(-0.5-\sqrt{0.0804},-0.5+\sqrt{0.0804})$.
• Si $[x]=0$, entonces la desigualdad nos queda $(\{x\}-0.5)^2\lt 3.0804$ o bien $|\{x\}-0.5|\lt \sqrt{3.0804}$. Como la parte decimal está entre $0$ y $1$, deducimos que todo el intervalo $[0,1)$ son soluciones de la desigualdad.
• Si $[x]=1$, entonces $\{x\}$ puede ser cualquier número entre $0$ y $1$ y la desigualdad es cierta. Esto nos da el intervalo de soluciones $[1,2)$.
• Si $[x]=2$, se razona de la misma manera que si $[x]=0$ por simetría y tenemos todo el intervalo de soluciones $[2,3)$.
• Si $[x]=3$, se razona de la misma manera que si $[x]=-1$ por simetría y tenemos el intervalo de soluciones $(-3.5-\sqrt{0.0804},-3.5+\sqrt{0.0804})$.

Con todo esto, el conjunto de puntos buscado es \[(-3.5-\sqrt{0.0804},-3.5+\sqrt{0.0804})\cup[0,3)\cup (-3.5-\sqrt{0.0804},-3.5+\sqrt{0.0804}).\]

Nota. Hemos usado decimales por comodidad pero todos los números decimales que aparecen son exactos, concretamente $0.0804=\frac{201}{2500}$ y $3.0804=\frac{7701}{2500}$.

Solución. Es fácil encontrar las soluciones $n=1$ y $n=3$, para las que obtenemos $8=2^3$ y $128=2^7$, mientras que $n=2$ no es solución ya que $5^2+3=28$ no es potencia de $2$. Veremos que $5^n+3$ no puede ser múltiplo de $256=2^8$ para ningún valor de $n$, lo que nos dirá que $n=1$ y $n=3$ son las únicas soluciones.

Tomando restos módulo $256$, el teorema de Euler nos dice que que $5^{\varphi(n)}\equiv 1\ (\text{mod }256)$ y, elevando sucesivamente al cuadrado, tenemos que \begin{align*} 5^2&\equiv 25\ (\text{mod }256),& 5^4&\equiv 25^2\equiv 113\ (\text{mod }256),& 5^8&\equiv 113^2\equiv 225\ (\text{mod }256)\\ 5^{16}&\equiv 225^2\equiv 193\ (\text{mod }256),& 5^{32}&\equiv 193^2\equiv 129\ (\text{mod }256),& 5^{64}&\equiv 129^2\equiv 1\ (\text{mod }256). \end{align*} Esto nos dice que $64$ es el menor exponente al que hay que elevar $5$ para obtener un múltiplo de $256$.

Nota. Si se considera $n=0$ como número natural, habría que incluirlo como solución ya que en tal caso tenemos $5^0+3=2^2$, pero esto no afecta al resto del razonamiento.

Solución. Cada cuadrado excluye un área mayor que la suya para el posible centro del círculo que queremos colocar. Como dicho centro ha de estar a distancia mayor que $\frac{1}{2}$ del cuadrado, esto implica que cada cuadrado excluye un área de $3+\frac{\pi}{4}$: el propio cuadrado, dos rectángulos de dimensiones $\frac{1}{2}\times 1$ pegados a cada lado y cuatro cuartos de círculo de radio $\frac{1}{2}$ pegados a sus esquinas. Esto excluye como máximo un área de $120(3+\frac\pi4)$. Además, como el círculo ha de estar dentro del rectángulo, el centro no podrá estar a distancia menor que $\frac{1}{2}$ del borde del rectángulo. En consecuencia, queda mínimo un área de $19\cdot 24-120(3+\frac\pi4)=96-30\pi$. Este número es positivo ya que $\frac{96}{30}=3.2\gt\pi$, luego siempre habrá puntos donde centrar el círculo cumpliendo las condiciones propuestas.

Solución. Hay muchas disposiciones de fichas para responder a la primera pregunta. Después de hacer algunas pruebas, llegaremos a alguna de ellas. Por ejemplo, una solución es

$\bigcirc$	$\bigcirc$
	$\bigcirc$	$\bigcirc$
$\bigcirc$		$\bigcirc$
			$\bigcirc$

ya que al eliminar dos filas cualesquiera, las fichas restantes ocupan tres columnas.

Para responder a la última pregunta, supongamos que tenemos sólo 6 fichas. Tiene que haber dos filas que contengan 4 fichas entre ambas (si no fuera así, habría máximo una fila con dos fichas y tres filas con una ficha, lo cual da un total de sólo 5 fichas). Por tanto, tomando estas dos filas y las columnas donde estén las 2 fichas restantes, hemos terminado.

Solución. Sean $r$ y $s$ las tangentes exteriores a las circunferencias de centros $A$ y $C$ y $r'$ y $s'$ las tangentes exteriores a las circunferencias de centros $B$ y $D$. Una circunferencia tangente a $r$ y $s$ debe equidistar de ambas rectas por lo que su centro pertenece a la bisectriz del ángulo formado por estas (si $r$ y $s$ son paralelas, entonces el centro pertenece a una paralela equidistante a ambas). Esto nos dice que las circunferencias tangentes a $r$ y $s$ tienen su centro en una recta, luego esta debe ser la que contiene a la diagonal $AC$. De la misma forma, debe pertenecer a la diagonal $BD$, luego el centro ha de ser el centro del rectángulo, que denotaremos por $O$.

Consideremos $A'$, $O'$ y $C'$ los pies de las perpendiculares a $r$ que pasan por $A$, $O$ y $C$. Como $AO=OC$, se deduce del teorema de Tales (las rectas $r$ y $AC$ son cortadas por tres paralelas $AA'$, $OO'$ y $CC'$) que $OO'=\frac{1}{2}(AA'+CC')=\frac{1}{2}(a+c)$. Por tanto, la circunferencia con centro $O$ y tangente a $r$ y $s$ tiene radio $\frac{1}{2}(a+c)$. Análogamente, la circunferencia con centro $O$ y tangente a $r'$ y $s'$ tiene radio $\frac{1}{2}(b+d)$. Como $a+c=b+d$, deducimos que ambas son la misma circunferencia y, por tanto, el cuadrilátero que se forma admite una circunferencia inscrita.