Olimpiadas de Matemáticas
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Problema 1084
Los números reales $a,b,c$ verifican que el polinomio
\[p(x)=x^4+ax^3+bx^2+ax+c\]
tiene exactamente tres raíces reales distintas; estas raíces son iguales a $\tan(y)$, $\tan(2y)$ y $\tan(3y)$ para algún número real $y$. Hallar todos los posibles valores de $y$ verificando $0\leq y\lt\pi$.
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Problema 1083
Determinar si existe un conjunto finito $S$ formado por números primos positivos de manera que para cada entero $n\geq 2$, el número $2^2+3^2+\ldots+n^2$ sea múltiplo de algún elemento de $S$.
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Problema 1082
Un conjunto de números enteros $T$ es orensano si existen enteros $a\lt b\lt c$ tales que $a$ y $c$ pertenecen a $T$ y $b$ no pertenece a $T$. Hallar el número de subconjuntos $T$ de $\{1,2,\ldots,2019\}$ que son orensanos.
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Problema 1081
Consideramos un triángulo $ABC$ y un punto $D$ en el lado $AC$. Si $AB=DC=1$, $\angle DBC=30^\circ$ y $\angle ABD=90^\circ$, calcular el valor de $AD$.
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Problema 1080
Prueba que, para todo $a,b,c\gt 0$, se cumple que
\[\frac{a^2}{b^3c}-\frac{a}{b^2}\geq \frac{c}{b}-\frac{c^2}{a}.\]
¿En qué caso se cumple la igualdad?
pistasolución 1info
Pista. Factoriza la expresión $\frac{a^2}{b^3c}-\frac{a}{b^2}-\frac{c}{b}+\frac{c^2}{a}$ poniendo previamente denominador común.
Solución. Observemos que
\begin{align*}
\frac{a^2}{b^3c}-\frac{a}{b^2}-\frac{c}{b}+\frac{c^2}{a}&=\frac{a^3-a^2 b c-a b^2 c^2+b^3 c^3}{a b^3 c}\\
&=\frac{c^2}{a}\cdot\left(\frac{a^3}{b^3c^3}-\frac{a^2}{b^2c^2}-\frac{a}{bc}+1\right).
\end{align*}
Obtenemos así el polinomio $x^3-x^2-x+1$ tras el cambio $x=\frac{a}{bc}$. Este polinomio se puede factorizar como $(x-1)^2(x+1)$, luego podemos proseguir factorizando como
\begin{align*}
\frac{a^2}{b^3c}-\frac{a}{b^2}-\frac{c}{b}+\frac{c^2}{a}
&=\frac{c^2}{a}\cdot\left(\frac{a}{bc}-1\right)^2\left(\frac{a}{bc}+1\right)\geq 0.
\end{align*}
La igualdad se da cuando el factor $\frac{a}{bc}-1$ se anula (ya que el resto de factores son estrictamente positivos), es decir, cuando $a=bc$.
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