Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Basta darse cuenta de la siguiente expresión: $$\frac{2}{n}=\frac{1}{\frac{n+1}{2}}+\frac{1}{\frac{n(n+1)}{2}},$$ donde los números $\frac{n+1}{2}$ y $\frac{n(n+1)}{2}$ son ambos enteros por ser $n$ impar. Además, estos dos números son distintos por ser $n\geq 3$.

Solución. El hecho de que el coeficiente del término de grado $n-1$ sea igual a $n$ nos dice que la suma de las raíces es $r_1+\ldots+r_n=-n$ (por las relaciones de Cardano-Vieta). La desigualdad de Cauchy-Schwarz aplicada a los vectores $(r_1,r_2,\ldots,r_n)$ y $(1,1,\ldots,1)$ nos dice que $$n^2=(r_1+r_2+\ldots+r_n)^2\leq n(r_1^{2}+r_2^2+\ldots+r_n^2)$$ luego deducimos que $r_1^{2}+r_2^2+\ldots+r_n^2\geq n$. Volvemos a aplicar la desigualdad de Cauchy-Schwarz para obtener que $$n^2\leq(r_1^2+r_2+\ldots+r_n^2)^2\leq n(r_1^{4}+r_2^2+\ldots+r_n^4),$$ de donde ahora deducimos que $r_1^{4}+r_2^4+\ldots+r_n^4\geq n$. Repitiendo el proceso dos veces más, tenemos que \begin{align*} n^2\leq(r_1^4+r_2^4+\ldots+r_n^4)^2\leq n(r_1^{8}+r_2^{8}+\ldots+r_n^8)\\ n^2\leq(r_1^8+r_2^8+\ldots+r_n^8)^2\leq n(r_1^{16}+r_2^{16}+\ldots+r_n^{16}),\\ \end{align*} luego $r_1^{16}+r_2^{16}+\ldots+r_n^{16}\geq n$. El enunciado nos dice que se da la igualdad en esta desigualdad, luego también se debe dar en cada desigualdad de Cauchy-Schwarz, lo que nos dice que todos las raíces $r_1,\ldots,r_n$ son iguales. Como su suma es $-n$, llegamos finalmente a que $r_1=r_2=\ldots=r_n=-1$.

Solución. Supongamos que $a_n$ es racional para cierto valor de $n$ y, por tanto, que su expresión decimal es periódica. Si llamamos $r$ a la longitud del período, como $10^{rn}$ tiene al menos $r$ ceros consecutivos y está contenido en la mantisa de $a_n$, deducimos necesariamente que el período es cero, es decir, que el número es un decimal exacto. Esto es una contradicción ya que hay infinitos decimales no nulos en $a_n$. Esta contradicción nos asegura que $a_n$ no es racional para ningún valor de $n$.

Solución. El conjunto $A$ tiene $10$ elementos, luego hay $2^{10}-1=1023$ subconjuntos distintos de $A$ no vacíos. Por otro lado, la suma mínima de elementos de uno de tales subconjuntos es $10+11+\ldots+19=185$ y la suma máxima $90+91+\ldots+99=945$, luego no hay más de $945-184=771$ sumas posibles distintas. Por el principio del palomar, habrá dos subconjuntos $B$ y $C$ de $A$ con la misma suma. Ahora basta con eliminar de $B$ y $C$ los elementos comunes, con lo que obtendremos los subconjuntos que queremos.

Solución. Supongamos que el cuadrado tiene lado 1 sin perder generalidad. Sea $O$ el centro de la circunferencia y sean $M$ y $N$ los puntos medios de los lados $BC$ y $CD$. Llamando $P$ al punto medio de $MN$ y usando el teorema de Pitágoras se calcula fácilmente $AM=\frac{\sqrt{5}}{2}$ y $MP=\frac{1}{2}MN=\frac{\sqrt{2}}{4}$. Además, $AO=OM=R$, el radio de la circunferencia. Por lo tanto, el teorema de Pitágoras en los triángulos rectángulos $AMP$ y $OMP$ nos dice que \[\frac{5}{4}=\frac{1}{8}+(R+OP)^2,\qquad R^2=OP^2+\frac{1}{8}.\] Este sistema de dos ecuaciones con incógnitas $OP$ y $R$ se resuelve fácilmente, obteniendo como únicas soluciones positivas: \[OP=\frac{\sqrt{2}}{3},\qquad R=\frac{5\sqrt{2}}{12}.\] Por lo tanto, la longitud de la circunferencia es $2\pi R=\frac{5\sqrt{2}\pi}{6}$, mientras que el perímetro del cuadrado es $4$. Como $\pi^2<10<\frac{576}{50}$, tomando raíces cuadradas obtenemos que $\frac{5\sqrt{2}\pi}{6}<4$, es decir, la longitud de la circunferencia es menor que el perímetro del cuadrado.

Nota. El valor de $R$ también se deduce de la fórmula para el radio de la circunferencia circunscrita al triángulo $AMN$, es decir, \[R=\frac{MN\cdot AM\cdot AN}{\sqrt{p(p-MN)(p-AM)(p-AN)}},\] donde $p=\frac{1}{2}(AM+MN+AN)$ es el semiperímetro del triángulo.