Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Llamemos $S(n)$ a la suma de fracciones que nos dice el enunciado y veamos que $S(n)=\frac{1}{2}$ por inducción sobre $n$. En el caso inicial $n=2$, la única fracción que cumple esos requisitos es $\frac{1}{2}$ para $p=1$ y $q=2$, luego $S(2)=\frac{1}{2}$. Supongamos que $S(n)=\frac{1}{2}$ para cierto $n\geq 2$ y probemos que $S(n+1)=\frac{1}{2}$. Observemos que las sumas $S(n)$ y $S(n+1)$ contienen los mismos sumandos excepto los siguientes:

• Los sumandos que aparecen en $S(n)$ y no en $S(n+1)$ son aquellos en que $p+q=n+1$.
• Los sumandos que aparecen en $S(n+1)$ y no en $S(n)$ son aquellos en que $q=n+1$.

Ahora bien, cada par $(p,q)$ de primos relativos con $p+q=n+1$ se puede poner en correspondencia con los pares de primos relativos $(p,n+1)$ y $(q,n+1)$. El valor total de los sumandos no varía ya que \[\frac{1}{p(n+1)}+\frac{1}{q(n+1)}=\frac{p+q}{pq(n+1)}=\frac{1}{pq},\] luego $S(n+1)=S(n)=\frac{1}{2}$ y el enunciado queda demostrado.

Solución. Como $x+y+z=4$, puede ocurrir que uno o dos de los números $x,y,z$ sean negativos. Si uno de ellos es negativo, entonces el miembro de la izquierda de la desigualdad es negativo y la desigualdad se cumple trivialmente. Si dos de estos números son negativos, entonces podemos cambiar ambos de signo y la desigualdad no cambia. Además, si $xyz=0$, entonces la desigualdad también se cumple, por lo que podemos suponer sin perder generalidad que $x,y,z\gt 0$.

Consideremos la función $f:(0,+\infty)\to\mathbb{R}$ definida por $f(x)=\log\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$. Sus derivadas vienen dadas por \[f'(x)=\frac{1}{x(x^2+1)},\qquad f''(x)=\frac{-3x^2-1}{x^2(x^2+1)^2}.\] Como $f''(x)<0$ para todo $x>0$, deducimos que $f$ es una función cóncava, luego aplicando la desigualdad de Jensen obtenemos que \begin{eqnarray} \frac{1}{3}\log\left(\frac{xyz}{\sqrt{(1+x^2)(1+y^2)(1+z^2)}}\right)&=&\frac{f(x)+f(y)+f(z)}{3}\\ &\leq& f\left(\frac{x+y+z}{3}\right)=f\left(\frac{4}{3}\right)=\log\left(\frac{4}{5}\right). \end{eqnarray} Tomando exponenciales en ambos miembros, deducimos la desigualdad del enunciado.

Nota. Como la función $f$ es estrictamente convexa, la igualdad se alcanzará si, y sólo si, $x=y=z=\frac{4}{3}$.

Solución. Todo cuadrado perfecto da resto $0$ ó $1$ al dividirlo entre $4$, luego la suma de dos cuadrados dará resto $0$, $1$ ó $2$ módulo $4$. Como $2003$ da resto $3$ módulo $4$, deducimos que no se puede escribir como la suma de los cuadrados de dos números enteros.

Solución. La desigualdad no cambia al invertir los papeles de $x$ e $y$, luego podemos suponer que $x\leq y$. Además, si $x$ e $y$ tienen distinto signo, se alcanza la igualdad luego podemos suponer que $x$ e $y$ tienen el mismo signo. Cambiando ambos de signo tampoco se altera la desigualdad, luego podemos suponer que $0\leq y\leq x$. En tal caso, la desigualdad a probar se traduce en \[\frac{x-y}{1-xy}\leq\frac{x+y}{1+xy}.\] Esta desigualdad se sigue del siguiente desarrollo: \[\frac{x-y}{1-xy}-\frac{x+y}{1+xy}=\frac{-2y(1-x^2)}{1-x^2y^2}\leq 0.\]

Nota. De este razonamiento se deduce que la igualdad es cierta cuando $x$ e $y$ tienen distinto signo o bien alguno de los dos es igual a cero.

Solución. Dados $a,b\in\mathbb{R}$, la tangente hiperbólica cumple que \[\tanh(a\pm b)=\frac{\mathrm{tanh}(a)\pm \mathrm{tanh}(b)}{1\pm \mathrm{tanh}(a)\mathrm{tanh}(b)},\qquad |\mathrm{tanh}(a)|=\mathrm{tanh}|a|.\] Por tanto, el cambio de variable $x=\mathrm{tanh}(t)$ e $y=\mathrm{tanh}(s)$ transforma la desigualdad del enunciado en \[\mathrm{tanh}|t-s|\leq\mathrm{tanh}(|t|+|s|).\] para $t,s\in\mathbb{R}$. Como la tangente hiperbólica es una función creciente, basta comprobar que $|t-s|\leq|t|+|s|$, pero esto es una consecuencia inmediata de la desigualdad triangular.

Solución. Ordenemos los cinco números de menor a mayor como \[x_1\lt x_2\leq x_3\leq x_4\lt x_5.\] Está claro que $x_1+x_2=31$ (es la menor suma) y $x_4+x_5=45$ (es la mayor suma) dan números impares, luego necesariamente $x_1\neq x_2$ y $x_4\neq x_5$. Si $x_2\lt x_3$, entonces $x_1+x_2\lt x_1+x_3\lt x_2+x_3\lt x_3+x_5$ son cuatro sumas distintas, pero sólo hay tres resultados posibles, lo que nos dice que ha de ser $x_2=x_3$. De la misma forma se prueba que $x_3=x_4$ y el sistema de cinco ecuaciones $x_1+x_2=31$, $x_2+x_3=38$, $x_2+x_5=45$, $x_2=x_3=x_4$ tiene por única solución \[(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)=(12,19,19,19,26).\] Como estos números cumplen la condición inicial, deducimos que son los únicos.

Nota. Existen muchas variantes de esta solución que conducen al mismo resultado. En realidad, no es difícil dar con la solución tanteando el problema, pero es necesario demostrar que es única.