Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. La desigualdad de Cauchy-Schwarz nos asegura que \[\left(\sum_{k=1}^n\sqrt{x_k}\right)\left(\sum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{1+x_k}}\right)\leq\left(\sum_{k=1}^n\sqrt[4]{\frac{x_k}{x_k+1}}\right)^2.\] Consideremos la función \[f:[0,+\infty)\to\mathbb{R},\qquad f(x)=\sqrt[4]{\frac{x}{x+1}}.\] No es difícil calcular las dos primeras derivadas de $f$, que vienen dadas por \[f’(x)=\frac{1}{4}x^{-3/4}(x+1)^{-5/4},\qquad -\frac{-1}{16}(8x+3)x^{-7/4}(x+1)^{-9/4}<0,\] luego $f$ es una función cóncava en $[0,+\infty)$. La desigualdad de Jensen nos dice que \[\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\sqrt[4]{\frac{x_k}{x_k+1}}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nf(x_k)\leq f\left(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n x_k\right)=\sqrt[4]{\frac{\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nx_k}{1+\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nx_k}}=\frac{1}{\sqrt[4]{n+1}}.\] Elevando al cuadrado esta última expresión y sustituyendo en la primera desigualdad, obtenemos la desigualdad del enunciado.

Observemos que, al haber aplicado la desigualdad de Jensen para una función estrictamente convexa, si la igualdad se alcanza, entonces $x_1=x_2=\ldots=x_n$. La condición $x_1+x_2+\ldots+x_n=1$ ahora nos dice que todos los números han de ser iguales a $\frac{1}{n}$. Es fácil comprobar que para $x_1=\ldots=x_n=\frac{1}{n}$ tenemos igualdad, luego éste es el único caso en que ésta se alcanza.

Solución. Podemos simplificar la expresión del enunciado de la siguiente forma: \begin{eqnarray*} \frac{p}{q}&=&1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{1319}-2\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{1318}\right)\\ &=&1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{1319}-\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{659}\right)\\ &=&\frac{1}{660}+\frac{1}{661}+\ldots+\frac{1}{1319} \end{eqnarray*} Ahora bien, en esta última suma, basta emparejar el primer elemento con el último, el segundo con el penúltimo y así sucesivamente, con lo que llegamos a la siguiente igualdad \begin{eqnarray*} \frac{p}{q}&=&\left(\frac{1}{660}+\frac{1}{1319}\right)+\left(\frac{1}{661}+\frac{1}{1318}\right)+\ldots+\left(\frac{1}{989}+\frac{1}{990}\right)\\ &=&\frac{1979}{660\cdot 1319}+\frac{1979}{661\cdot 1318}+\ldots+\frac{1979}{989\cdot 990} \end{eqnarray*} Como $1979$ es un número primo y los denominadores anteriores tienen factores menores que $1979$, deducimos que $p$ es múltiplo de $1979$, que es lo que queríamos probar.

Nota. Es interesante observar que $p$ y $q$ bien podrían tener factores comunes, pero hemos encontrado una fracción $\frac{p}{q}$ tal que $p$ es múltiplo de $1979$ y $q$ no, luego el numerador de cualquier fracción equivalente a $\frac{p}{q}$ será múltiplo de $1979$.

Solución. Existen $9$ números primos menores o iguales que $26$ (esto son $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$, $19$ y $23$), por lo que cada número de $M$ se expresará como $2^{e_1}3^{e_2}\cdots 19^{e_8}23^{e_9}$, siendo los exponentes $e_1,\ldots,e_9$ no negativos. Si sólo atendemos a la paridad de estos exponentes, tenemos $2^9=512$ posibilidades, luego el principio del palomar nos dice que de entre los $1985$ enteros podremos elegir dos de ellos cuyos exponentes tienen la misma paridad. De entre los $1983\gt 512$ restantes también podemos elegir dos cuyos exponentes tienen la misma paridad y repetir el proceso extrayendo parejas de números con esta propiedad mientras al menos queden $512$ elementos restantes. Como $1985=513+2\cdot 736$, podemos obtener hasta $736$ parejas. Consideremos el conjunto $N$ formado por las $736$ medias geométricas de tales parejas, que son números enteros con divisores primos menores o iguales que $26$. Ahora bien, como $736\gt 512$, podemos encontrar dos de estas medias cuyos exponentes tengan la misma paridad usando el mismo argumento del principio del palomar, luego hemos encontrado cuatro números $a,b,c,d\in M$ tales que $\sqrt{ab}$ y $\sqrt{cd}$ son enteros cuyos exponentes tienen la misma paridad, esto es, $\sqrt[4]{abcd}=\sqrt{\sqrt{ab}\sqrt{cd}}$ es un entero.

Solución. Escribamos $S=\{a_1,a_2,\ldots,a_n\}$ y sea $N$ es el número total de elementos que todas las $n!$ permutaciones de $S$ dejan fijos. Por un lado, está claro que $N=\sum_{k=0}^nkp_n(k)$, ya que las permutaciones que dejan fijos $k$ elementos, dejan fijos un total de $kp_n(k)$ elementos. Por otro lado, cada uno de los $n$ elementos $a_1,a_2,\ldots,a_n$ queda fijo exactamente para $(n-1)!$ permutaciones distintas, luego $N$ también es igual a $n\cdot (n-1)!=n!$ y tenemos demostrado el enunciado.

Solución. Consideremos el cambio de variables siguiente: \begin{eqnarray*} x&=&b+2c+3d,\\ y&=&c+2d+3a,\\ z&=&d+2a+3b,\\ w&=&a+2b+3c. \end{eqnarray*} No es difícil resolver este sistema de ecuaciones lineales (que es compatible determinado) y despejar $(a,b,c,d)$ en términos de $(x,y,z,w)$, obteniendo \begin{eqnarray*} a&=&\frac{1}{24}(w-5x+7y+z),\\ b&=&\frac{1}{24}(w+x-5y+7z),\\ c&=&\frac{1}{24}(7w+x+y-5z),\\ d&=&\frac{1}{24}(-5w+7x+y+z). \end{eqnarray*} Sustituyendo y simplificando en la ecuación original, ésta se escribe como \[\frac{w+7y+z}{x}+\frac{x+7z+w}{y}+\frac{y+7w+x}{z}+\frac{z+7x+y}{w}\geq 36.\] Aquí es importante darse cuenta de que las nuevas variables $x,y,z,w$ son positivas, luego será suficiente demostrar esta desigualdad para cualesquiera $x,y,z,w\gt 0$. Podemos agrupar los términos anteriores para escribirla de la siguiente forma: \[\left(\frac{w}{x}+\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{w}\right)+7\left(\frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{w}{z}+\frac{y}{w}\right)+\left(\frac{z}{x}+\frac{x}{z}\right)+\left(\frac{w}{y}+\frac{y}{w}\right)\geq 36.\] El primer y segundo paréntesis son la suma de cuatro números cuyo producto es la unidad, luego cada uno de estos paréntesis es mayor que $4$ por la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica. Por otro lado, los últimos dos paréntesis son mayores o iguales que $2$ por el mismo motivo, luego la desigualdad es cierta para cualesquiera $x,y,z,w\gt 0$, como queríamos probar.

Nota. En el cambio de $(a,b,c,d)$ a $(x,y,z,w)$, hemos asegurado que $a,b,c,d\gt 0$ implica que $x,y,z,w\gt 0$, lo cual es suficiente para resolver el problema. La implicación opuesta no es cierta en general, es decir, pudiera ser que $x,y,z,w\gt 0$ mientras que alguno de los números $a,b,c,d$ fuera menor o igual que cero. Por tanto, la desigualdad que hemos demostrado con $(x,y,z,w)$ es más general que la desigualdad original con $(a,b,c,d)$.

De la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica se deduce fácilmente que la igualdad se alcanza si, y sólo si, $x=y=z=w$. Esto, a su vez, es equivalente a que $a=b=c=d$.