Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Observemos que \[\frac{x^5-1}{x-1}=x^4+x^3+x^2+x+1=(x^2+3x+1)^2-5x(x+1)^2.\] Por tanto, evaluando en $x=5^{25}$, tenemos que \begin{eqnarray*} \frac{5^{125}-1}{5^{25}-1}&=&(5^{50}+3\cdot 5^{25}+1)^2-(5^{38}+5^{13})^2\\ &=&(5^{50}+5^{38}+3\cdot 5^{25}+5^{13}+1)(5^{50}-5^{38}+3\cdot 5^{25}-5^{13}+1). \end{eqnarray*} Claramente ambos factores son mayores que $1$, lo que prueba que el número original es compuesto.

Nota. Un ataque directo al problema calculando $\frac{5^{125}-1}{5^{25}-1}=1+5^{25}+5^{50}+5^{75}+5^{100}$ módulo distintos primos es inviable ya que su factor primo más pequeño es $3597751$.

Solución. El número resultante se puede escribir como \[N=a_1+a_210^5+a_310^{10}+\ldots+a_{88889}10^{444440},\] siendo $(a_1,a_2,a_3,\ldots,a_{88889})$ la ordenación de los números que se ha tomado. Ahora bien, el número $10^5-1=99999$ se puede descomponer como $99999=9\cdot 11111$, luego se cumple que $10^5\equiv 1\ (\text{mód}\ 11111)$, lo que quiere decir que \[N\equiv a_1+a_2+a_3+\ldots+a_{88889}\ (\text{mód}\ 11111).\] Ahora bien los números del $11111$ al $99999$ recorren nueve veces todos los restos módulo $11111$ (más una vez el resto cero). Como cada resto y su opuesto son distintos módulo $11111$ (ya que $11111$ es impar), está claro que la suma de todos los restos desde $0$ a $11110$ es igual a cero. Volviendo al razonamiento anterior, esto nos asegura que \[N\equiv a_1+a_2+a_3+\ldots+a_{88889}\equiv 0\ (\text{mód}\ 11111),\] luego el número $N$ es múltiplo de $11111$ independientemente del orden que se ha elegido para colocar los números. Por tanto, no puede ser una potencia de $2$, como queríamos probar.

Nota. Observemos que $99999=3^2\cdot 41\cdot 271$, luego también podríamos haber hecho el mismo razonamiento módulo $41$ ó módulo $271$. No obstante, la técnica usual en estos casos (trabajar módulo $3$ ó $9$) no funciona en este caso ya que queda $N\equiv 8\ (\text{mód}\ 9)$ y sí hay potencias de $2$ congruentes con $8$ módulo $9$.

Solución. Consideremos el polinomio $Q(x)=P(x)-x^2$, que nos permite reescribir la ecuación original como \[Q(x+1)=Q(x).\] Por tanto, $Q(x)$ es un polinomio que toma el mismo valor para infinitos valores de $x$ (por ejemplo, $Q(n)=Q(0)$ para todo $n\in\mathbb{N}$), luego es constante. En otras palabras, existe $c\in\mathbb{R}$ tal que $Q(x)=c$, de donde obtenemos que $P(x)=x^2+c$. Es fácil darse cuenta de que todos los polinomios de la forma $P(x)=x^2+c$ cumplen la ecuación del enunciado, luego estos son los únicos.

Solución. Supongamos que el polinomio se escribe como \[P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0.\] Observemos que la diferencia \[P(x+1)-P(x)=a_n(x+1)^n+a_{n-1}(x+1)^{n-1}+\ldots-a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}-\ldots\] tiene a $na_nx^{n-1}$ por término de mayor grado. Como esta diferencia ha de ser igual a $2x+1$, deducimos que $n=2$ y $a_2=1$, en cuyo caso \[P(x+1)-P(x)=[(x+1)^2+a_1(x+1)+a_0]-[x^2+a_1x+a_0]=2x+1+a_1,\] luego ha de ser $a_1=0$ y el polinomio queda de la forma $P(x)=x^2+a_0$. Como todos los polinomios de esta forma cumplen la ecuación inicial, deducimos que son los únicos.

Solución. Todo número es congruente con la suma de sus cifras módulo $3$, es decir, $n\equiv s(n)\,(\text{mód}\ 3)$ para todo $n\in\mathbb{N}$. Por lo tanto, $n+s(n)+s(s(n))$ es congruente con $3n$ módulo $3$, luego es siempre un múltiplo de $3$. No obstante, $2018$ no es múltiplo de $3$, luego la ecuación del enunciado no tiene solución.