Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. En el primer apartado, el número está determinado por la cantidad de unos, doses, treses,... que elijamos ya que, una vez elegida la cantidad de cada dígito, sólo hay una forma de disponerlos para formar una sucesión creciente. Por tanto, tenemos que elegir $n$ elementos de entre $9$ posibilidades (el cero no es un dígito posible) pero podemos repetirlos, luego buscamos combinaciones con repetición ($9$ elementos distintos que pueden repetirse tomados de $n$ en $n$). Por tanto el número buscado es \[\binom{n+8}{9}=\frac{(n+17)!}{(n+8)!\cdot 9!}.\] Para el segundo apartado, observemos que la respuesta es cero para $n\gt9$ ya que no hay suficientes dígitos en el sistema decimal. Para $n\geq 9$, tendremos que escoger $n$ elementos distintos de un conjunto de $9$ sin importar el orden (una vez elegidos los $n$ elementos se ordenarán de forma creciente para formar el número). Por tanto, estamos ante combinaciones (sin repetición) de $9$ elementos tomados de $n$ en $n$. Por consiguiente, el número buscado es \[\binom{n}{9}=\frac{(n+9)!}{n!\cdot 9!}.\]

Nota. Usar las combinaciones con repetición o sin repetición es una forma concisa de expresar el resultado, pero hay muchos otros razonamientos que llevan a la solución.

Solución. La función seno es cóncava en el intervalo $[0,\pi]$ donde se mueven los ángulos de un triángulo, por lo que la desigualdad de Jensen nos asegura que \[\frac{\sin(\alpha)+\sin(\beta)+\sin(\gamma)}{3}\leq\sin\left(\frac{\alpha+\beta+\gamma}{3}\right)=\sin(60º)=\frac{\sqrt{3}}{2}.\] Como la función es estrictamente convexa (su gráfica no contiene segmentos rectilíneos), deducimos que la igualdad se alcanza cuando $\alpha=\beta=\gamma$, es decir, cuando el triángulo es equilátero.

Solución. Consideramos los seis radios del círculo que pasan por los seis puntos dados. Si hay dos puntos que pertenecen a un mismo radio, está claro que la distancia entre esos dos puntos es menor o igual que el radio, luego podemos suponer que todos estos radios son distintos. Por lo tanto, dividen al círculo en seis sectores circulares cuyos ángulos suman $360º$ (el círculo completo). De entre seis números que suman $360$ siempre habrá uno menor o igual que $60$, lo que nos dice que existirán dos de los puntos que están contenidos en un sector angular de ángulo $60º$ y, como la distancia entre dos puntos dentro de tal sector es menor o igual que el radio del círculo, el enunciado está demostrado.

Con cinco puntos el resultado no es cierto. Un contraejemplo serían los vértices de un pentágono regular inscrito en el círculo dado: la distancia entre dos de ellos es mayor o igual que el lado del pentágono, que es mayor que el lado de un hexágono inscrito (que, a su vez, es igual al radio).

Solución. Consideremos la función $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ definida por \[f(t)=\frac{1}{1+e^t}.\] Es fácil calcular sus derivadas, que vienen dadas por \[f'(t)=\frac{-e^t}{(1+e^t)^2},\qquad f''(t)=\frac{e^t(e^t-1)}{(e^t+1)^3}.\] De aquí deducimos que $f''(t)\gt 0$ para todo $t\gt 0$, luego $f$ es una función estrictamente convexa sobre los reales positivos. La desigualdad de Jensen nos asegura entonces que \[\frac{1}{n}\left(\frac{1}{1+e^{t_1}}+\frac{1}{1+e^{t_2}}+\ldots+\frac{1}{1+e^{t_n}}\right)\geq\frac{1}{1+e^{\frac{t_1+t_2+\ldots+t_n}{n}}},\] para cualesquiera $t_1,\ldots,t_n\geq 0$. Si ahora hacemos el cambio de variable \[t_1=\log(x_1),\ t_2=\log(x_2),\ ...,\ t_n=\log(x_n),\] (aquí es importante que $x_1,\ldots,x_n\geq 1$), obtenemos la desigualdad del enunciado.

Nota. Sólo hemos aplicado la desigualdad de Jensen, luego la igualdad en la desigualdad del enunciado se alcanza cuando se alcance en la de Jensen. Como la función $f$ es estrictamente convexa, deducimos que la igualdad en la desigualdad de Jensen se alcanza si, y sólo si, $t_1=t_2=\ldots=t_n$, es decir, cuando $x_1=x_2=\ldots=x_n$.

Solución. Escribamos la sucesión como $x_1,x_2,\ldots,x_k$, siendo $k\geq (r-1)(s-1)+1$. Diremos que un término $x_i$ es un pivote si es mayor o igual que todos los términos anteriores $x_i\geq x_j$ siempre que $1\leq j\leq i$. Si la sucesión tiene $r$ pivotes, entonces éstos forman una sucesión creciente y hemos terminado, luego supondremos que hay un número $n_1\leq r-1$ de pivotes y los denotaremos por $P_{11}\leq P_{12}\leq\cdots \leq P_{1n_1}$. Si eliminamos estos términos de la sucesión nos quedará una sucesión con al menos $(r-1)(s-2)+1$ términos. Repitiendo el proceso, si la nueva sucesión tiene $r$ pivotes, entonces éstos forman una sucesión creciente y hemos terminado, luego supondremos que hay $n_2\leq r-1$ pivotes en la nueva sucesión, que llamaremos $P_{21}\leq P_{22}\leq\ldots\leq P_{2n_2}$.

Al eliminar estos términos quedan al menos $(r-1)(s-3)+1$ términos, luego el proceso puede repetirse al menos $s$ veces dando lugar a sucesiones de pivotes \begin{eqnarray*} P_{11}\leq P_{12}\leq\cdots\leq P_{1n_1}\\ P_{21}\leq P_{22}\leq\ldots\leq P_{2n_2}\\ \ldots\\ P_{s1}\leq P_{22}\leq\ldots\leq P_{2n_s} \end{eqnarray*} siendo $n_1,n_2,\ldots,n_s\leq r-1$ (si en algún paso obtenemos $r$ pivotes habremos terminado). Veamos que así podemos construir una sucesión decreciente de $s$ términos. Empezando con $P_{s1}$, como no fue elegido pivote en el paso $s-1$, existirá un $P_{s-1,j_{s-1}}$ tal que $P_{s-1,j_{s-1}}$ es un término anterior en la sucesión original y $P_{s-1,j}\geq P_{s,1}$. El mismo argumento se puede repetir con $P_{s-1,j_{s-1}}$ para encontrar un $P_{s-2,j_{s-2}}\geq P_{s-1,j_{s-1}}$ y tal que $P_{s-2,j_{s-2}}$ es un término de la sucesión original anterior a $P_{s-1,j_{s-1}}$. Repitiendo el proceso, llegamos a una sucesión decreciente $ P_{1j_1}\geq P_{2j_2}\geq\ldots\geq P_{s-1,j_{s-1}}\geq P_{s1}$, que representa a una subsucesión de la sucesión original, luego el enunciado está demostrado.

Nota. El número $(r-1)(s-1)$ no puede mejorarse. Por ejemplo, para $r=s=3$, la sucesión dada por $x_1=3$, $x_2=1$, $x_3=4$ y $x_4=2$ no tiene subsucesiones crecientes ni decrecientes de $3$ elementos. Este ejemplo además se puede adaptar para cualesquiera valores de $r$ y $s$.