Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Dados tres puntos $(a_1,b_1)$, $(a_2,b_2)$ y $(a_3,b_3)$, su baricentro tiene coordenadas \[\left(\frac{a_1+a_2+a_3}{3},\frac{b_1+b_2+b_3}{3}\right),\] por lo que interesa averiguar el número máximo de puntos que podemos colocar de forma que la suma de las primeras y segundas coordenadas de tres cualesquiera de ellos no sea múltiplo de tres.

Para ello, observemos que, dados cinco números enteros siempre hay tres de ellos cuya suma es múltiplo de tres. Para probar esto consideremos los cinco números según sus restos módulo $3$: si hay tres que tienen el mismo resto, entonces la suma de esos tres es múltiplo de $3$ y, en caso contrario, debe haber tres de ellos con restos distintos y su suma es un múltiplo de $3$. Esto nos dice que el número buscado es menor o igual que cuatro y no es difícil encontrar cuatro puntos tales que tres cualesquiera no están alineados y cuyos baricentros no tienen coordenadas enteras: \[P_1=(0,0),\qquad P_1=(1,0),\qquad P_3=(0,1),\qquad P_4=(1,1).\]

Solución. Consideremos las funciones $f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ dadas por \[f(z)=(1+z)(1+z^2)(1+z^4),\qquad g(z)=1+z^7,\] para todo $z\in\mathbb{R}$. Usaremos las siguientes propiedades:

• si $z\gt 0$, entonces $1\lt g(z)\lt f(z)$;
• si $-1\lt z\lt 0$, entonces $0\lt f(z)\lt g(z)\lt 1$;
• si $z\lt -1$, entonces $g(z)\lt f(z)\lt 0$.

La demostración de estas tres propiedades se deduce de que $f$ y $g$ son funciones crecientes y de la siguiente factorización de la diferencia $f-g$ (los detalles se dejan al lector): \[f(z)-g(z)=z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6=z(z-1)(z^4+z^2+1)\]

Supongamos que $(x,y)$ es una solución a la ecuación original y distingamos casos según el valor de $x$ caiga en algunos de los intervalos anteriores.

1. Si $x\lt -1$, entonces $g(y)=f(x)\gt g(x)$, es decir, $1+y^7\gt 1+x^7$ y, por tanto, $y\gt x$. No obstante, también tenemos que $1+y^7=f(x)\lt 0$, luego $y\lt -1$ y un razonamiento análogo al anterior (sustituyendo $x$ e $y$) nos asegura que $x\gt y$, lo cual es una contradicción.
2. Si $-1\lt x\lt 0$, entonces $g(y)=f(x)\lt g(x)$, es decir, $1+y^7\lt 1+x^7$ y, por tanto, $x\gt y$. Como quiera que $1+y^7=f(x)\in (0,1)$, deducimos que $-1\lt y\lt 0$ y un razonamiento análogo al anterior nos asegura que $x\lt y$, lo cual es también una contradicción.
3. Si $x\gt 0$, entonces $g(y)=f(x)\gt g(x)$, de donde $x\lt y$. De forma análoga a los casos anteriores, $1+y^7=f(x)\gt 1$, luego $y\gt 0$ y repitiendo el razonamiento, llegamos a que $x\gt y$, y también tenemos la contradicción buscada.

En resumen, $x$ e $y$ sólo pueden tomar los valores $-1$ y $0$. Un breve análisis de las cuatro posibles combinaciones nos lleva a que las únicas soluciones son $(x,y)=(-1,-1)$ y $(x,y)=(0,0)$.

Solución. Supongamos que el plano es el de ecuación $z=0$ y que uno de los vértices del cubo es $(0,0,0)$. Buscamos una base ortogonal de $\mathbb{R}^3$ formada por tres vectores $v_1,v_2,v_3$ con módulo $\ell$ (el lado del cubo) y cuyas terceras coordenadas son $1$, $2$ y $4$. Si los encontramos, entonces el origen junto con los puntos \[v_1,\quad v_2\quad v_1+v_2,\quad v_3,\quad v_3+v_1,\quad v_3+v_2,\quad v_3+v_2+v_1\] serán los vértices del cubo que buscamos. Veamos cómo construir estos vectores:

• En primer lugar, haciendo una rotación respecto del eje $OZ$ si es necesario e imponiendo que el módulo es $\ell$ y la tercera coordenada es $1$, podemos suponer que \[v_1=\left(\sqrt{l^2-1},0,1\right).\]
• El vector $v_2$ será de la forma $(x,y,2)$. El hecho de que tenga módulo $\ell$ y sea ortogonal a $v_1$ se traduce en las ecuaciones \[\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2+4=\ell^2,\\x\sqrt{\ell^2-1}+2=0.\end{array}\right.\] Este sistema puede resolverse fácilmente (nos quedamos con la solución positiva para $y$ ya que la negativa es simétrica respecto del plano $XZ$), con lo que queda \[v_2=\left(\frac{-2}{\sqrt{\ell^2-1}},\frac{\ell\sqrt{\ell^2-5}}{\sqrt{\ell^2-1}},2\right).\]
• El vector $v_3$ será de la forma $(u,v,4)$. Imponer que $v_3$ sea ortogonal a $v_1$ y $v_2$ resulta en las ecuaciones \[\left\{\begin{array}{l}u\sqrt{\ell^2-1}+4=0,\\\frac{-2u}{\sqrt{\ell^2-1}}+\frac{v\ell\sqrt{\ell^2-5}}{\sqrt{\ell^2-1}}+8=0.\end{array}\right.\]
Este sistema se resuelve fácilmente dando lugar a \[v_3=\left(\frac{-4}{\sqrt{\ell^2-1}},\frac{-8\ell}{\sqrt{\ell^2-1}\sqrt{\ell^2-5}},4\right).\] Imponiendo que el módulo de este vector sea igual a $\ell$, nos queda la ecuación \[|v_3|^2=\ell^2\ \Leftrightarrow\ \frac{\ell^2(21-\ell^2)}{\ell^2-5}=0,\] de donde se tiene claramente que $\ell=\sqrt{21}$.

De esta manera, los vértices del cubo que cumple el enunciado son \[(0,0,0),\quad \left(2\sqrt{5},0,1\right),\quad \left(\frac{-\sqrt{5}}{5},\frac{2\sqrt{105}}{5},2\right),\quad \left(\frac{9\sqrt{5}}{5},\frac{2\sqrt{105}}{5},3\right)\] \[\left(\frac{-2\sqrt{5}}{5},\frac{-\sqrt{105}}{5},4\right),\quad \left(\frac{8\sqrt{5}}{5},\frac{-\sqrt{105}}{5},5\right),\quad \left(\frac{-3\sqrt{5}}{5},\frac{\sqrt{105}}{5},6\right),\quad \left(\frac{7\sqrt{5}}{5},\frac{\sqrt{105}}{5},7\right)\]

Nota. La solución dada es una forma sistemática de obtener un cubo que cumple las hipótesis, aunque hay otros cubos más sencillos que las cumplen (por ejemplo, tomando $v_1=(4,2,1)$ se simplifican un poco los cálculos, aunque a priori es difícil llegar a esta elección). Lo bueno de esta aproximación es que si el cubo no existiera, habríamos llegado a una contradicción.

Solución. Algunos cuadrados perfectos monótonos son $1=1^2$, $16=4^2$, $144=12^2$ ó $1156=34^2$. Vamos a dar dos familias de cuadrados perfectos monótonos, una que recorre todos los valores de $n$ pares y otra los impares:

• Los números de la forma $333\ldots 34$ tienen cuadrado monótono: \[34^2=1156,\quad 334^2=111556,\quad 3334^2=11115556,\ldots\]
• Los números de la forma $1666\ldots 67$ tienen cuadrado monótono: \[17^2=289,\quad 167^2=27889,\quad 1667^2=2778889,\ldots\]

Para dar una demostración rigurosa, veamos que los números así formados son cuadrados perfectos. En primer lugar, el número $1\ldots15\ldots56$ formado por $n$ unos, $n-1$ cincos y $1$ seis, se puede expresar como \[\sum_{i=0}^{2n-1}10^i+4\sum_{i=0}^{n-1}10^i+1=\frac{10^{2n}-1}{9}+4\frac{10^n-1}{9}+1=\frac{10^{2n}+4\cdot 10^n+4}{9}=\left(\frac{10^n+2}{3}\right)^2,\] que claramente es un cuadrado perfecto ($10^n+2$ es siempre múltiplo de $3$). Observemos que en el desarrollo anterior hemos usado la fórmula de la suma de los términos de una progresión geométrica.

Por otro lado, el número $27\ldots78\ldots89$ formado por $1$ dos, $n-1$ sietes, $n$ ochos y $1$ nueve, se puede expresar de forma similar como un cuadrado perfecto: \begin{eqnarray*} 2\sum_{i=0}^{2n}10^i+5\sum_{i=0}^{2n-1}10^i+\sum_{i=0}^n10^i+1&=&2\frac{10^{2n+1}-1}{9}+5\frac{10^{2n}-1}{9}+\frac{10^{n+1}-1}{9}+1\\ &=&\frac{25\cdot 10^{2n}+10\cdot 10^n+1}{9}=\left(\frac{5\cdot 10^n+1}{3}\right)^2. \end{eqnarray*}

Nota. Existen otros ejemplos de números que generan cuadrados monótonos, como pueden ser los de la forma $3\ldots35$, $3\ldots37$ ó $6\ldots67$ (que dan todos ellos un número par de dígitos).