Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Sean $R$ el radio de la circunferencia circunscrita de $ABC$ y $R'$ el radio de la circunferencia circunscrita de su triángulo órtico. Por un lado, la desigualdad de Euler nos dice que $2r\leq R$ y $2\rho\leq R'$ y, por otro, el círculo de los nueve puntos nos dice que $R'=\frac{1}{2}R$ (ya que la circunferencia circunscrita al triángulo órtico es la circunferencia circunscrita al triángulo de vértices los puntos medios de $ABC$. Con toda esta información, tenemos que \[\rho\leq\frac{1}{2}R'=\frac{1}{4}R=\frac{1}{4}=1-\frac{1}{3}\left(1+\frac{R}{2}\right)^2\leq 1-\frac{1}{3}(1+r)^2.\]

Solución. Construyamos el conjunto $S$ por inducción sobre $n$. Para el caso base $n=2$, basta tomar el conjunto $S=\{1,2\}$. Supongamos entonces que $\{a_1,\ldots,a_n\}$ es un conjunto de $n$ elementos tales que $(a_i-a_j)^2$ divide a $a_ia_j$ para cualesquiera subíndices $i$ y $j$; si construimos un conjunto $S$ de $n+1$ elementos que también cumple esta propiedad habremos demostrado el enunciado.

La idea clave es darse cuenta de que si $a$ y $b$ son tales que $(a-b)^2$ divide a $ab$, entonces $a+c$ y $b+c$ también cumplen esta propiedad siempre que $c$ sea un múltiplo de $ab$. Por tanto, si consideramos el producto $c=a_1\cdots a_n$, el conjunto $S_1=\{c,a_1+c,a_2+c,\ldots,a_n+c\}$ tiene $n+1$ elementos (son todos distintos) y cumple la propiedad del enunciado. Comprobémoslo:

• Tomando $a=a_i+c$ y $b=a_j+c$, se tiene que $(a-b)^2=(a_i-a_j)^2$ divide a $a_ia_j$ por hipótesis de inducción, luego también divide a $ab=a_ia_j+c(a_i+a_j)+c^2$ (ya que $c$ es múltiplo de $a_ia_j$).
• Tomando $a=c$ y $b=a_i+c$, se tiene que $(a-b)^2=a_i^2$ divide a $ab=a_ic+c^2$ ya que $a_i$ divide a $c$.

Solución. Claramente, el problema puede reducirse a estudiar los máximos y mínimos de la función \[f:[0,1]\to\mathbb{R},\qquad f(x)=ax+b+\frac{1}{1+x}.\] Observemos que esta función es derivable en el intervalo $[0,1]$ y su derivada está dada por \[f'(x)=a-\frac{1}{(1+x)^2}.\] Los extremos relativos de $f$ se podrán alcanzar en los puntos en que $f'(x)=0$ así como en los extremos $x=0$ y $x=1$, donde vale $f(0)=1+b$ y $f(1)=\frac{1}{2}+a+b$. Además, la ecuación $f'(x)=0$ tiene a $x=\frac{1}{\sqrt{a}}-1$ por única solución en el intervalo $[0,1]$ siempre que $a\geq \frac{1}{4}$, en cuyo caso \[f\left(\frac{1}{\sqrt{a}}-1\right)=2\sqrt{a}-a+b.\] Además, $f''(x)\gt 0$ para todo $x\in[0,1]$, luego $f$ es una función convexa y, si tiene un punto crítico, éste será un mínimo absoluto (esta información puede ser útil para tener intuición sobre los cálculos que desarrollamos a continuación).

Si $|f(0)|\gt\frac{1}{24}$, como $f$ es continua, bastará tomar $c$ suficientemente cercano a $0$. Análogamente, si $|f(1)|\gt\frac{1}{24}$, podremos tomar $c$ sufientemente cercano a $1$ y habremos terminado. Por tanto, supondremos a partir de ahora que $|f(0)|=|1+b|\leq\frac{1}{24}$ y $|f(1)|=|\frac{1}{2}+a+b|\leq\frac{1}{24}$. Desarrollando los valores absolutos, estas desigualdades equivalen a \[\frac{-25}{24}\leq b\leq\frac{-23}{24},\qquad \frac{-13}{24}\leq a+b\leq\frac{-11}{24}.\] Entonces, podemos acotar $a$ de la forma \[a=(a+b)-b\geq\frac{-13}{24}-\frac{-23}{24}=\frac{10}{24}\gt\frac{1}{4},\] luego $c=\frac{1}{\sqrt{a}}-1\in(0,1)$ es un mínimo absoluto de $f$ y el resultado que probamos se reduce a probar que $f(c)=2\sqrt{a}-a+b\lt\frac{-1}{24}$. Ahora bien, observemos que \[f(x)=(1-x)b+(a+b)x+\frac{1}{1+x}\leq (1-x)\frac{-23}{24}-\frac{11}{24}x+\frac{1}{1+x}=\frac{-23}{24}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{1+x},\] luego el mínimo absoluto de $f$ es menor o igual que el mínimo absoluto para $a=\frac{1}{2}$ y $b=\frac{-23}{24}$. De esta forma, llegamos a que \[f(c)=2\sqrt{a}-a+b\leq 2\sqrt{\frac{1}{2}}-\frac{1}{2}-\frac{23}{24}=\sqrt{2}-\frac{35}{24}\lt\frac{-1}{24}.\] Para probar la desigualdad $\sqrt{2}-\frac{35}{24}\lt\frac{-1}{24}$, tenemos que es equivalente a $24\sqrt{2}\lt 34$ que, a su vez, elevando al cuadrado, equivale a $1152\lt 1156$, lo que concluye la demostración.

Nota. La desigualdad del enunciado puede parecer muy técnica, pero tiene una interpretación geométrica que puede ayudar a elaborar la solución: la ecuación $ax+b$ representa una recta arbitraria y el valor absoluto nos da la distancia entre esta recta y la función $g(x)=\frac{-1}{1+x}$. Por tanto, el problema nos dice que al aproximar $g(x)$ por cualquier recta en el intervalo $[0,1]$ siempre habrá puntos de la recta que distarán más de $\frac{1}{24}$ del correspondiente punto en la recta.

El resultado no es óptimo ya que tenemos una desigualdad estricta, pero en la solución puede verse que el valor $\frac{1}{24}$ está muy cerca de la cota óptima. Tal cota óptima es mucho más difícil de obtener.

Solución. Para simplificar el problema, podemos llamar $\sin(\theta)$ y $\cos(\theta)$ a los lados de los cuadrados ya que su suma es $\sin^2(\theta)+\cos^2(\theta)=1$. También podemos suponer que $\sin(\theta)\geq\cos(\theta)$ ya que, en caso contrario, basta cambiar el orden de los cuadrados. Esto nos lleva a que $\theta$ se mueve en el intervalo $[\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}]$.

Ahora bien, es claro que la posición en que se deben colocar los dos cuadrados para que quepan en un menor rectángulo es con un lado del cuadrado menor contenido en un lado del cuadrado mayor. De esta forma, el área de dicho rectángulo de menor área en términos de $\theta$ está dada por la función $S:[\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}]\to\mathbb{R}$, donde \[S(\theta)=\sin(\theta)(\sin(\theta)+\cos(\theta)).\] El número $A$ que nos piden en el enunciado es el máximo de $S(\theta)$ cuando $\theta\in[\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}]$. Para ello, vemos que la derivada de $S$ está dada por \[S'(\theta)=\cos(2\theta)+\sin(2\theta).\] Dividiendo entre $\sin(2\theta)$, es fácil ver que $S'(\theta)=0$ si, y sólo si, $\tan(2\theta)=-1$, lo que nos lleva al único punto crítico $\theta=\frac{3\pi}{8}$. Además, la segunda derivada de $S$ cumple \[S''(\theta)=2\cos(2\theta)-2\sin(2\theta)\leq 0,\quad\text{para }\theta\in[\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}].\] Todo esto nos dice que $S$ es una función cóncava y, por tanto, su máximo está dado por \[A=S(\tfrac{3\pi}{8})=\frac{1+\sqrt{2}}{2}\] (para calcular este último valor pueden ser útiles las fórmulas del seno y coseno del ángulo mitad).