Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Demuestra que para todo $n\geq 2$ podemos encontrar $n$ números reales $x_1,x_2,\ldots,x_n$, todos ellos distintos de $1$, de manera que \[x_1x_2\cdots x_n=\frac{1}{1-x_1}\cdot\frac{1}{1-x_2}\cdots\frac{1}{1-x_n}.\]

Para cada número de cuatro cifras $\overline{abcd}$, demostrar que $S=\overline{abcd}-\overline{dcba}$ es múltiplo de $37$ si, y solo si, las dos cifras centrales del número $\overline{abcd}$ son iguales.

Nota. En este problema, $\overline{abcd}$ denota al entero de cuatro cifras en que $a$ son las unidades de millar, $b$ las centenas, $c$ las decenas y $a$ las unidades.

Sean $a_1,a_2,\ldots,a_{2019}$ enteros positivos y $P$ un polinomio con coeficientes enteros tal que, para todo entero positivo $n$, $P(n)$ divide a $a_1^n+a_2^n+\ldots+a_{2019}^n$. Demuestra que $P$ es un polinomio constante.

Don Miguel coloca una ficha en alguno de los $(n+1)^2$ vértices determinados por un tablero de $n\times n$. Una jugada consiste en mover la ficha desde el vértice en que se encuentra a un vértice adyacente en alguna de las ocho posibles direcciones: $\rightarrow,\leftarrow,\uparrow,\downarrow$, $\searrow,\nearrow,\nwarrow,\swarrow$, siempre y cuando no se salga del tablero. Un recorrido es una sucesión de jugadas tal que la ficha estuvo en cada uno de los $(n+1)^2$ vértices exactamente una vez. ¿Cuál es la mayor cantidad de jugadas diagonales ($\searrow,\nearrow,\nwarrow,\swarrow$) que en total puede tener un recorrido?

Sea $ABCD$ un trapecio con $AB$ paralela a $CD$ e inscrito en la circunferencia $\Gamma$. Sean $P$ y $Q$ dos puntos en el segmento $AB$ ($A,P,Q,B$ están en ese orden y son distintos) tales que $AP=QB$. Sean $E$ y $F$ los segundos puntos de intersección de las rectas $CP$ y $CQ$ con $\Gamma$, respectivamente. Las rectas $AB$ y $EF$ se cortan en $G$. Demuestra que la recta $DG$ es tangente a $\Gamma$.