Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Con las condiciones del enunciado hay dos tipos de conjuntos históricos, que son los de la forma \[A_n=\{n,n+1776,n+3777\},\qquad B_n=\{n,n+2001,n+3777\}\] siendo $n$ un entero no negativo. Se nos pide construir una sucesión de conjuntos disjuntos $C_k$ tal que cada $C_k$ es de la forma $A_n$ ó $B_n$ y $\cup_{k=1}^\infty C_k=\mathbb{N}$. Lo vamos a hacer de forma inductiva definiendo $C_1=A_0$ y, supuesto que hemos definido $C_1,\ldots, C_k$, definimos $C_{k+1}$ de la siguiente manera. Sea $n$ el menor entero positivo que no pertenece a ninguno de los conjuntos $C_1,\ldots,C_k$;

• si $n+1776$ no pertenece a ninguno de los conjuntos $C_1,\ldots,C_k$, entonces $C_{k+1}=A_n$,
• si $n+1776$ pertenece a alguno de los conjuntos $C_1,\ldots,C_k$, entonces $C_{k+1}=B_n$.

En otras palabras, vamos siempre cubriendo el menor $n$ que no ha sido cubierto aún con el conjunto $A_n$ y, si no podemos, lo cubrimos con el $B_n$. Está claro que esta estrategia nos lleva a que $\cup_{k=1}^\infty C_k=\mathbb{N}$ siempre que una de las dos alternativas cumpla que $C_{k+1}$ es disjunto con todos los $C_1,\ldots,C_k$. El problema surge cuando ambos números $n+1776$ y $n+2001$ pertenecieran a alguno de los $C_1,\ldots,C_k$ o bien $n+3777$ pertenece a $C_1,\ldots,C_k$. Veamos que ninguna de estas dos situaciones puede ocurrir realmente.

1. Supongamos que $n+1776\in C_r$ y $n+2001\in C_s$ para ciertos enteros $r,s\in\{1,\ldots,k\}$. Como $n$ no está en $C_r$ ni en $C_s$ y tanto $C_r$ como $C_s$ han de contener valores menores que $n$, tendremos que
   • $C_r=A_{n-2001}=\{n-2001,n-225,n+1776\}$ ó $C_r=B_{n-225}=\{n-225,n+1776,n+3552\}$,
   • $C_s=B_{n-1776}=\{n-1776,n+225,n+2001\}$.
   Ya tenemos la contradicción en el caso de $C_s$ ya que, al estar no estar $n$ utilizado, en el paso de elegir $C_s$ hubiéramos elegido $C_s=A_{n-1776}=\{n-1776,n,n+2001\}$ pues se prefiere elegir conjuntos $A$ frente a $B$ siempre que esto es posible.
2. Si $n+3777\in C_r$ para algún $r\in\{1,\ldots,k\}$, entonces $C_r$ sólo contendría valores mayores o iguales que $n$, lo que contradice la construcción ya que $C_r$ ha de contener algún número menor que $n$ por ser $r\lt k+1$. Por tanto, este caso tampoco puede ocurrir.

Tenemos así que la estrategia de elección funciona siempre, como queríamos demostrar.

Nota. Esta misma demostración sirve al cambiar $1776$ y $2001$ por otros enteros $a$ y $b$ tales que $a\lt b$, siempre que tomemos $A_n=\{n,n+a,n+a+b\}$ y $B_n=\{n,n+b,n+a+b\}$. Si $a=b$, el resultado es incluso más sencillo, ¿por qué?

Solución. Comencemos despejando $x$ e $y$ en función de $z$ y $w$. Pare ello, observemos que $x$ e $y$ son soluciones de la ecuación de segundo grado (en la incógnita $u$) dada por \[0=(u-x)(u-y)=u^2-(x+y)u+xy=u^2-(z+w)u+\frac{zw}{2}.\] Por consiguiente, usando la fórmula de la ecuación de segundo grado, tenemos que \[u=\frac{z+w\pm\sqrt{z^2+w^2}}{2}.\] Como cambiar $x$ por $y$ no afecta a la ecuación inicial, no podemos decir qué elección del signo $\pm$ corresponde a $x$ y cuál a $y$. No obstante, cambiar $x$ por $y$ resulta en invertir el cociente $\frac{x}{y}$, luego asumiremos que $x$ corresponde al signo $+$ e $y$ al signo $-$ (y después razonaremos la elección opuesta).

Como $z$ y $w$ son positivas, las dos soluciones anteriores para $u$ también lo son ya que \[(z+w)^2=z^2+w^2+2zw>z^2+w^2,\] de donde $z+w>\sqrt{z^2+w^2}$. Esto nos dice que para cada par de números positivos $(z,w)$ existe un par $(x,y)$ tal que $x,y,z,w$ cumplen el enunciado (y es único salvo permutar $x$ e $y$). Podemos escribir entonces \begin{eqnarray*} \frac{x}{y}&=&\frac{z+w+\sqrt{z^2+w^2}}{z+w-\sqrt{z^2+w^2}}\\ &=&\frac{(z+w+\sqrt{z^2+w^2})^2}{(z+w-\sqrt{z^2+w^2})(z+w+\sqrt{z^2+w^2})}\\ &=&\frac{z^2+w^2+zw+(z+w)\sqrt{z^2+w^2}}{zw}\\ &=&\frac{z}{w}+\frac{w}{z}+1+\left(\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{w}}+\frac{\sqrt{w}}{\sqrt{z}}\right)\sqrt{\frac{z}{w}+\frac{w}{z}}. \end{eqnarray*}

Llamando $f(z,w)$ a esta última expresión y aplicando para $r=\frac{z}{w}$ y $r=\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{w}}$ la desigualdad elemental $r+\frac{1}{r}\geq 2$, llegamos a que \[f(w,z)=\frac{z}{w}+\frac{w}{z}+1+\left(\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{w}}+\frac{\sqrt{w}}{\sqrt{z}}\right)\sqrt{\frac{z}{w}+\frac{w}{z}}\geq3+2\sqrt{2}.\] Además, la función $g:[0,+\infty)\to\mathbb{R}$ dada por $g(t)=f(1,t)$ cumple que $g(1)=3+2\sqrt{2}$ y $\lim_{t\to+\infty}g(t)=+\infty$. Como $g$ es continua, el teorema del valor intermedio nos garantiza que $g$ toma todos los valores en el intervalo $[3+2\sqrt{2},+\infty)$. Por tanto, los valores que toma $\frac{x}{y}$, que no son otros que los que toma $f$, son también los del intervalo $[3+2\sqrt{2},+\infty)$.

Finalmente, si permutamos $x$ e $y$, estamos invirtiendo el cociente $\frac{x}{y}$, luego obtendremos también los valores del intervalo $(0,\frac{1}{3+2\sqrt{2}}]=(0,3-2\sqrt{2}]$. Deducimos que la solución a la pregunta del enunciado es el conjunto \[(0,3-2\sqrt{2}]\cup[3+2\sqrt{2},+\infty).\]