Olimpiadas de Matemáticas
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Problema 325
Sean $ABC$ un triángulo y $P$ un punto en su interior. Consideremos $P_1$ y $P_2$ los pies de las perpendiculares por $P$ a los lados $AC$ y $BC$, respectivamente, y sean $Q_1$ y $Q_2$ los pies de las perpendiculares desde $C$ a las rectas $AP$ y $BP$. Demostrar que las rectas $AB$, $P_1Q_2$ y $P_2Q_1$ son concurrentes.
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Problema 324
Sea $C$ un conjunto de $n$ puntos en el plano tales que tres cualesquiera de ellos no están alineados. Demostrar que existe un conjunto $S$ en el plano formado por $2n-5$ puntos que cumple que en el interior de cada triángulo cuyos tres vértices son elementos de $C$, hay algún elemento de $S$.
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Problema 323
Sean $a,b,c\in\mathbb{Z}$ y $p$ un número primo impar. Probar que si $ax^2+bx+c$ es un cuadrado perfecto para $2p-1$ valores consecutivos de $x$, entonces $p$ divide a $b^2-4ac$.
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Problema 322
Sean $f,g:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ tales que
- $f\left(m+f(f(n))\right)+f\left(f(m+1)\right)+n=0$ para cualesquiera $m,n\in\mathbb{Z}$.
- $g$ es una función polinómica con coeficientes enteros tal que $g(n)=g(f(n))$ para todo $n\in\mathbb{Z}$.
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Problema 321
Dado un pentágono regular, construir un triángulo que tenga la misma área.
pistasolución 1info
Pista. Moviendo los vértices del pentágono a lo largo de ciertas rectas, el área no cambia.
Solución. Llamemos $ABCDE$ al pentágono y tracemos por $D$ una paralela a $CE$ y por $B$ una paralela a $AC$. Estas paralelas cortan a la recta que contiene a $AE$ en $D'$ y $B'$, respectivamente, como se muestra en la figura. Entonces, los triángulos $CDE$ y $CD'E$ tienen la misma área, así como los triángulos $ABC$ y $AB'C$. Por tanto, el área del pentágono $ABCDE$ es igual al área del triángulo $B'CD'$.
Nota. ¿Cuáles son los ángulos del triángulo construido? ¿Es equilátero?
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