Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Vamos a hacer un razonamiento por reducción al absurdo, suponiendo que el enunciado no se cumple. Además, para simplificar la notación vamos a utilizar índices cíclicos módulo $n$, es decir, llamamos $a_1$ a una de las perlas y tomaremos $a_{n+k}=a_n$ para todo $k\in\mathbb{N}$. Que el enunciado no se cumple quiere decir que, para todo $r\in\mathbb{N}$, podemos encontrar $k\in\{1,\ldots,n\}$ tal que $a_{r+1}+a_{r+2}+\ldots+a_{r+k}\geq k$, es decir, cortando la cadena donde la cortemos, siempre encontramos una secuencia de perlas consecutivas cuya suma no cumple la desigualdad del enunciado. La idea es usar repetidamente esta propiedad.

Empezando por la primera perla encontramos $k_1$ tal que $a_1+\ldots+a_{k_1}\geq k_1$ después podemos encontrar $k_2\gt k_1$ tal que $a_{k_1+1}+\ldots+a_{k_2}\geq k_2-k_1$, luego $a_1+\ldots+a_{k_2}\geq k_2$. Reiterando el proceso, encontramos una sucesión creciente $k_1,k_2,k_3,\ldots$ tal que $a_1+\ldots+a_{k_r}\geq k_r$ para todo $r$. Como estamos trabajando módulo $n$ (es decir, como sólo hay $n$ perlas), en algún momento los $k_r$ se repetirán módulo $n$, esto es, existen $r$ y $s$ distintos tales que $k_s= k_r+bn$ para cierto $b\in\mathbb{N}$. De esta forma, \[a_{k_r+1}+a_{k_r+2}+\ldots+a_{k_s}\geq k_s-k_r=bn.\] Esto es una contradicción ya que los números $a_{k_r+1},a_{k_r+2},\ldots,a_{k_s}$ representan $b$ veces todos los números de la cadena ($b$ vueltas a la cadena) y, por la hipótesis del enunciado, su suma ha de ser igual a $b(n-1)\lt bn$.

Nota. En realidad, en el enunciado no se especifica cómo se empieza a contar una vez cortada la cadena (es decir, desde qué extremo se cuenta o si es válido usar ambos extremos a la vez. La solución propuesta nos dice que podemos prefijar el sentido en el que se consideran las sumas por anticipado.