Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Entre los $39$ números siempre hay $20$ consecutivos $n,n+1,\ldots,n+19$ que sólo difieren en las cifras de las decenas y las unidades y de forma que la cifra de la cifra de las unidades de $n$ es cero. Si $a$ es la suma de las cifras de $n$, entonces las sumas de las cifras de $n,n+1,\ldots,n+19$ son $a,a+1,\ldots,a+9,a+1,\ldots,a+10$, respectivamente, y alguno de estos números ha de ser múltiplo de $11$.

Nota. Un ejemplo de que el resultado no es cierto para $38$ números son los números del $999981$ al $1000018$.

Solución. Veamos que la respuesta es negativa, razonando por reducción al absurdo. Si $a^2+b$ es un cuadrado perfecto, como es mayor que $a^2$, tendrá que ser $a^2+b\geq (a+1)^2$, de donde $b\geq 2a+1$. De la misma forma, si $b^2+a$ es un cuadrado perfecto, tendremos que $a\geq 2b+1\geq 4a+3\gt a$, lo cual es una contradicción.

Solución. Empezamos colocando un círculo de radio menor que $\frac{1}{100}$ centrado en cada punto del conjunto. Si dos círculos de diámetros $d_1$ y $d_2$ están a distancia menor que $1$, entonces están contenidos entonces están contenidos en otro círculo de diámetro menor que $d_1+d_2+1$ (cuyo centro está alineado con los centros de los círculos originales). Entonces, si sustituimos los dos círculos por el más grande, incrementamos el diámetro en una unidad. Mientras haya círculos a distancia menor que $1$ realizamos esta operación y, como en cada paso hay un círculo menos, usaremos la operación un máximo número de 99 veces (en tal caso quedaría un solo círculo). Por tanto, habremos incrementado la suma de diámetros en un máximo de $99$ unidades. La suma de diámetros totales será, tras todo el proceso, menor que $100$.