Olimpiadas de Matemáticas
Página de preparación y problemas

Solución. Llamemos $x_1\leq x_2\leq x_3\leq x_4\leq x_5$ a los cinco números dados ordenados de menor a mayor. Si $a,b,c,d,e$ son los números del $1$ al $5$ en algún orden, el enunciado nos dice que $$x_a+x_b+x_c\geq x_d+x_e,\qquad x_a+x_d+x_e\geq x_b+x_c.$$ Sumando estas desigualdades, obtenemos que $x_a\geq 0$ para todo $a$ entre $1$ y $5$. Si consideramos las desigualdades siguientes y las sumamos también: $$x_a+x_b+x_c\geq x_d+x_e,\qquad x_a+x_b+x_e\geq x_d+x_c,$$ obtenemos que $x_a-x_d\leq x_b$ para cualesquiera $a,b,d$ distintos entre $1$ y $5$. Con esto podemos acotar \begin{align*} x_5-x_4&\leq x_1,& x_5-x_3&\leq x_2,&x_5-x_2&\leq x_3,&x_5-x_1&\leq x_4,&x_4-x_3&\leq x_5,\\ x_4-x_2&\leq x_1,& x_4-x_1&\leq x_2,&x_3-x_2&\leq x_5,&x_3-x_1&\leq x_4,&x_2-x_1&\leq x_3.\\ \end{align*} Finalmente, si multiplicamos todas las desigualdades anteriores (todos sus términos son positivos), obtenemos el resultado buscado: $$\prod_{i\lt j}(x_i-x_j)\leq x_1^2x_2^2x_3^2x_4^2x_5^2.$$

Nota. Si ordenamos los números de mayor a menor $x_1\leq x_2\leq x_3\leq x_4\leq x_5$, la condición del enunciado se traduce simplemente en que $0\leq x_1$ y $x_5\leq x_1+x_2$. ¿Sabrías demostrarlo?