Olimpiadas de Matemáticas
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Solución. Comenzamos observando que ninguno de los números puede ser múltiplo de 19 ya que, en tal caso, sólo uno de los dos conjuntos tendría un factor 19. Entonces, los restos módulo 19 de los números deben ser los números del 1 al 18. Si multiplicamos todos ellos, resulta $18!\equiv 18\ (\text{mod }19)$ por el teorema de Wilson (ver nota). Si existieran dichos subconjuntos disjuntos con el mismo producto, entonces $18$ sería un cuadrado módulo $19$, pero no lo es ya que \begin{align*} 1^2&\equiv 1\ (\text{mod }19),& 2^2&\equiv 4\ (\text{mod }19),& 3^2&\equiv 9\ (\text{mod }19),\\ 4^2&\equiv 16\ (\text{mod }19),& 5^2&\equiv 6\ (\text{mod }19),& 6^2&\equiv 17\ (\text{mod }19),\\ 7^2&\equiv 11\ (\text{mod }19),& 8^2&\equiv 7\ (\text{mod }19),& 9^2&\equiv 5\ (\text{mod }19),\\ 10^2&\equiv 5\ (\text{mod }19),& 11^2&\equiv 7\ (\text{mod }19),& 12^2&\equiv 11\ (\text{mod }19),\\ 13^2&\equiv 17\ (\text{mod }19),& 14^2&\equiv 6\ (\text{mod }19),& 15^2&\equiv 16\ (\text{mod }19),\\ 16^2&\equiv 9\ (\text{mod }19),& 17^2&\equiv 4\ (\text{mod }19),& 18^2&\equiv 1\ (\text{mod }19). \end{align*}

Nota. El teorema de Wilson afirma que $(p-1)!\equiv -1\ (\text{mod }p)$ para cualquier primo $p$.